[논문 리뷰] Galton-Watson processes in varying environment and accessibility percolation

Daniela Bertacchi, Pablo M. Rodríguez외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 10.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 34인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 모멘트 기반 기준과 생성함수 분석을 사용하여 변동 환경 내 분할 과정(BPVE)과 그 선택 기반 변형(BPWS)의 생존 및 멸종에 대한 충분조건을 수립한다. 생존은 자손 분포의 일차 및 이차 모멘트 간 상호작용에 따라 달라지며, 주요 결과로는 이들 모멘트가 나무 위의 접근 가능성 퍼콜레이션과 연결되고, 임계 성장률에서의 단계 전이가 발생함을 보여준다.

ABSTRACT

This paper deals with branching processes in varying environment, namely, whose offspring distributions depend on the generations. We provide sufficient conditions for survival or extinction which rely only on the first and second moments of the offspring distributions. These results are then applied to branching processes in varying environment with selection where every particle has a real-valued label and labels can only increase along genealogical lineages; we obtain analogous conditions for survival or extinction. These last results can be interpreted in terms of accessibility percolation on Galton-Watson trees, which represents a relevant tool for modeling the evolution of biological populations.

연구 동기 및 목표

• 변동 환경 내 분할 과정(BPVE)에서 거의 확실한 멸종과 생존을 유도하기 위한 충분조건을 자손 분포의 일차 및 이차 모멘트만을 기반으로 유도하는 것.
• 이러한 결과를 선형적으로 병합되는 선구자에 의한 생존 확률이 증가하는 선택 기반 분할 과정(BPWS)으로 확장하여, 생물학적 진화에서의 적합도 제약 조건을 모델링하는 것.
• BPWS를 갈톤-워슨 나무 위의 접근 가능성 퍼콜레이션과 연결하여, 적합도에 따라 생존 확률이 결정되는 진화 역학 모델링을 위한 확률적 프레임워크를 제공하는 것.
• 평균 자손 수가 다항식적으로 증가할 경우 BPWS에서의 단계 전이 행동을 규명하여, 지수 >1일 경우 생존, ≤1일 경우 멸종임을 보여주는 것.
• 일련의 {ci}i≥0를 포함하는 모멘트 조건을 고려하여, 구성된 BPVE를 이용한 확률적 지배 기법을 개발하여, BPWS에서 국소 생존을 증명하는 것.

제안 방법

• 생성함수와 고정점 분석을 사용하여 비자명한 고정점 존재 여부를 통해 BPVE에서의 생존을 특성화하는 것.
• 자손 분포의 일차 모멘트 수열 {mn}만을 기반으로 거의 확실한 멸종을 위한 충분조건를 도출하는 것.
• BPWS에서 입자의 위치를 구간 [xn−1, xn)으로 제한하고, 독립적인 희석 확률 pn을 적용하여 스토하스틱적으로 지배되는 BPVE를 구성하는 것.
• 지배하는 BPVE의 모멘트 분석: emn = pnmn 및 em(2)n − emn = p2n(m(2)n − mn)으로 원래 과정의 모멘트와 연결하는 것.
• 지배하는 BPVE에 정리 2.5를 적용하여, µ(¯x, y) > 0 인 구간 [¯x, y)에서 원래 BPWS의 국소 생존을 유추하는 것.
• 일련의 {ci}i≥0를 도입하여 모멘트 조건를 정밀화하고, ∑1/mi = ∞ 또는 이차 모멘트 비율이 클 경우에도 생존 결과를 도출할 수 있도록 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 변동 환경 내 분할 과정(BPVE)에서 어떤 모멘트 조건 하에서 거의 확실한 생존가능성이 보장되는가?
• RQ2 일차 및 이차 모멘트만을 알고 있을 때, BPVE에서 생존과 멸종가 어떻게 특성화될 수 있는가? 특히 일차 모멘트가 1 이하일 경우에 대해.
• RQ3 선택 기반 분할 과정(BPWS)에서 생존을 보장하는 조건는 무엇인가? 여기서는 부모보다 더 높은 적합도를 가진 자손만 복제할 수 있다.
• RQ4 평균 자손 수의 증가율이 BPWS에서 생존 확률에 미치는 영향은 무엇이며, 임계 지수에서 단계 전이가 발생하는가?
• RQ5 주어진 적합도 구간에서 BPWS가 어떤 BPVE에 의해 스토하스틱적으로 지배될 수 있는가? 만약 그러한 지배가 성립한다면, 지배 과정의 생존이 원래 과정의 국소 생존을 의미하는가?

주요 결과

• BPVE에서 거의 확실한 멸종을 위한 충분조건가 일차 모멘트 수열 {mn}만을 사용하여 도출되었으며, mn < 1 인 경우에도 멸종가 발생할 수 있음을 보여준다.
• BPVE에서 생존은 제곱된 일차 모멘트로 스케일된 이차 모멘트 비율이 일차 모멘트의 곱에 의해 스케일링된 조건을 만족할 경우 보장되며, 이는 정리 2.5에 의해 입증된다.
• BPWS에서 생존은 일련의 {ci}i≥0 가 존재하여 ∑ci/mi < ∞ 이고, 이차 모멘트 비율 m(2)n/m2n 이 곱 ∏i=0n−1 ci 에 대해 성장 조건을 만족할 경우 보장된다.
• mn ∼nα 일 경우, α = 1 에서 단계 전이가 발생함을 규명: α < 1 이면 멸종, α > 1 이면 모멘트 조건 (3.4) 하에서 생존.
• 명시적인 예시는 기하, 포isson, 이항 자손 분포가 ∑1/mi < ∞ 일 경우 생존 조건을 만족함을 보여준다.
• 일련의 {ci}는 ∑1/mi = ∞ 인 경우에도 생존 조건를 적용 가능하게 하며, 이차 모멘트 비율 m(2)n/m2n 에 대해 더 큰 상한을 제공하여 더 넓은 모델 적용 범위를 확장한다.