[논문 리뷰] Galvin's property at large cardinals and an application to partition calculus

Tom Benhamou, Shimon Garti외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 15.

Advanced Topology and Set Theory인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 강력한 초한수, 특히 초확장성 및 측정 가능한 기수에서의 Galvin 성질의 일致성을 조사한다. 강력한 초한수에서 Galvin 성질에 실패하는 초한수와 Galvin 성질을 만족하는 초한수를 동시에 가질 수 있음을 강력한 강제법과 반복 기법을 통해 보여주며, 이는 약한 기수 산술 가정 하에 새로운 형태의 분할관계 $\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ 를 도출하는 데 응용된다. 특히 결정성 모델에서의 적용이 이루어진다.

ABSTRACT

In the first part of this paper, we explore the possibility for a very large cardinal $κ$ to carry a $κ$-complete ultrafilter without Galvin's property. In this context, we prove the consistency of every ground model $κ$-complete ultrafilter extends to a non-Galvin one. Oppositely, it is also consistent that every ground model $κ$-complete ultrafilter extends to a $P$-point ultrafilter, hence to another one satisfying Galvin's property. Finally, we apply this property to obtain consistently new instances of the classical problem in partition calculus $λ ightarrow(λ,ω+1)^2$.

연구 동기 및 목표

• 초확장성 또는 $C^{(n)}$-확장 가능한 기수와 같은 매우 큰 기수들이 Galvin 성질에 실패하는 $\theta$-완전 초한수를 지닐 수 있는지 조사하는 것.
• 모든 기저 모델의 $\theta$-완전 초한수 초집합이 Galvin 성질을 만족하지 않는 것으로 확장될 수 있는 것의 일치 강도를 규명하는 것.
• 반대로, 모든 $\theta$-완전 초한수 초집합이 $P$-점 초집합, 즉 Galvin 초집합으로 확장될 수 있는지 탐색하는 것.
• 이러한 강제법 구성법을 분할 해석학에 적용하여, 강력한 기수 산술 가정 없이도 $\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ 의 새로운 사례를 도출하는 것.
• 특히 $V=L(\bbR)$ 및 $\bf{AD}$ 하에서 결정성 모델에서 Galvin 성질의 역할을 분석하여, 새로운 긍정적 분할 관계를 도출하는 것.

제안 방법

• 적절한 강제법을 사용한 일반적 확장 기법을 통해 초확장성 기수 $\theta$ 가 Galvin 성질에 실패하는 $\theta$-완전 초한수를 지닌 모델을 구성하는 것.
• 일반화된 Mathias 강제법의 반복을 적용하여 임의의 $\theta$-완전 필터를 Galvin 성질을 만족하는 $\theta$-완전 초한수로 확장하는 것.
• Gitik와 Shelah의 정교한 반복 기법을 변형하여, 모든 기저 모델의 $\theta$-완전 초한수 초집합이 $P$-점 초집합으로 확장되도록 강제하는 것.
• 특정 조건에서 Galvin 성질 실패를 가정할 때, 부정적 분할 관계 $\theta\nrightarrow(\theta,\theta+1)^2$ 를 증명하기 위해 $c:[\theta]^2\to 2$ 의 2색 칠하기를 구성하는 것.
• 결정성 공리와 $\bf{L}(\bbR)$ 의 구조를 활용하여 $\bf{AD}+V=L(\bbR)$ 하에서 특정한 비가역 기수 $\theta$ 가 $\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ 를 만족함을 보이는 것.
• 측정 가능한 기수의 극한에서의 클럽 필터와 정상 측정을 사용하여 주요 분할 해석학 정리의 조건을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초확장성 기수 $\theta$ 가 Galvin 성질에 실패하는 $\theta$-완전 초한수를 지닐 수 있는지 일치하는가?
• RQ2 초확장성 기수 $\theta$ 에서 모든 $\theta$-완전 초한수 초집합이 $P$-점 초집합으로 확장될 수 있는가, 즉 Galvin 성질을 만족하는가?
• RQ3 기수 산술 가정 $2^\theta \neq \theta^+$ 가 성립할 때 $\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ 의 일치 강도는 무엇인가?
• RQ4 $\bf{AD}$ 하에서, 비가역 기수 $\theta$ 가 불가역 초한수의 임계값을 가지며 $\text{cf}(\theta) > \theta$ 라면 $\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ 는 성립하는가?
• RQ5 Galvin 성질의 실패 조건이 $\theta\nrightarrow(\theta,\theta+1)^2$ 를 강제하기 위해 필요한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 적절한 강제법을 사용한 일반적 확장 기법을 통해 초확장성 기수 $\theta$ 가 Galvin 성질에 실패하는 $\theta$-완전 초한수를 지닐 수 있음을 일치시킨다.
• 또한 초확장성 기수 $\theta$ 에서 모든 $\theta$-완전 초한수 초집합이 $P$-점 초집합으로 확장되어 Galvin 성질을 만족함을 일치시킨다.
• 일반화된 Mathias 강제법의 반복은 모든 $\theta$-완전 필터가 Galvin 성질을 만족하는 $\theta$-완전 초한수로 확장됨을 보장한다.
• 기수 산술 가정 $2^\theta < \theta^+$ 를 대체하여 Galvin 성질의 한 사례를 도입함으로써 $\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ 의 새로운 사례를 도출한다.
• $\bf{AD}+V=L(\bbR)$ 하에서, 만약 $\theta$ 가 정상 기수의 극한이며 $\theta = \text{cf}(\theta) > \theta$ 라면 $\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ 가 성립한다.
• 특히 $\theta = \beth_{\theta}$ 와 $\theta = \beth_{\theta+1}$ 는 $\bf{AD}$ 하에서 $2^\theta > \theta$ 인 경우에도 $\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ 와 일致함을 보인다.