[논문 리뷰] Game pricing and double sequence of random variables

Yukio Hirashita|arXiv (Cornell University)|2007. 03. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 반복 투자에서 자본의 장기 성장률을 최대화하기 위해 최적의 투자 비율을 결정하는 새로운 게임 가격 모델을 제안한다. 이는 수익 기대를 모델링하기 위해 이중 랜덤 변수 수열을 사용한다. 주요 기여는 블랙-숄즈 모델과 다름을 보이며, 최적의 성장률은 기대 수익이 할인된 행사가와 같을 때가 아니라, 기대 성장률이 무위험 금리와 같을 때 달성됨을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we study a game with positive or plus infinite expectation and determine the optimal proportion of investment for maximizing the limit expectation of growth rate per attempt. With this objective, we introduce a new pricing method in which the price is different from that obtained by the Black-Scholes formula for a European option.

연구 동기 및 목표

• 반복 게임 설정에서 시도당 성장률의 극한 기대값을 최대화하는 최적의 투자 비율을 결정하기 위해.
• 블랙-숄즈 공식에 의존하지 않는 재무 게임 또는 옵션을 위한 새로운 가격 결정 메커니즘을 개발하기 위해.
• 성장률의 극한 기대값이 수렴하고 최대화되는 조건을 설정하기 위해.
• 반복 투자 역학에서 로그 유용도 함수가 사전 가정 없이 자연스럽게 도출됨을 보여주기 위해.
• 기대값이 아닌 성장률 극대화를 기반으로 세인트 페테르스버그 게임과 유럽식 옵션을 가격 정책하는 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 유계 단계 함수 f_N(x)가 수익 함수 a(x)로 수렴하도록 하는 이중 랜덤 변수 수열 {X_{N,n}}을 도입하여 수렴 분석을 가능하게 한다.
• 시도당 성장률을 (M_n / M_0)^{1/n}으로 정의하고, 핵심 성능 지표로 E[X_{N,n}]의 극한 기대값을 사용한다.
• 고정 비율 투자 하에서 장기 성장률로 G_u(t) = exp(∫_I log(a(x)t/u - t + 1) dF(x))의 극한 기대값을 유도한다.
• 공정 가격 u를 결정하기 위해 조건 G_u(t_u) = r + 1 (또는 연속 복리의 경우 e^r)를 사용한다.
• 제닝스 부등식과 적분 부등식을 활용하여 G_u(t)가 t에 대해 엄격히 감소하고 u에 대해 연속임을 증명함으로써 최적의 t_u의 유일성을 확보한다.
• 기본 최소값 ξ와 적분 H = ∫ dF(x)/a(x), H_ξ = ∫ dF(x)/(a(x) - ξ)를 사용하여 최적의 투자 비율의 존재성과 범위를 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 게임 가격 u에 대해 시도당 성장률의 극한 기대값을 최대화하는 최적의 투자 비율 t_u는 무엇인가?
• RQ2 제안된 가격 정책 방법은 재무 옵션의 공정 가격을 결정할 때 블랙-숄즈 공식과 어떻게 다를까?
• RQ3 성장률의 극한 기대값이 존재하고 유한한 값으로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 반복 투자 게임에서 로그 유용도 함수가 사전 가정 없이도 최적으로 도출되는 이유는 무엇인가?
• RQ5 무위험 금리가 4%일 때 세인트 페테르스버그 게임의 공정 가격은 얼마인가?

주요 결과

• 무위험 금리가 4%인 세인트 페테르스버그 게임의 경우, 최적의 가격은 u ≈ 5.1052이며, 이로 인해 성장률은 1.04로 최대화된다.
• 무위험 금리가 4%일 때, 세인트 페테르스버그 게임의 최적의 투자 비율은 t_u ≈ 0.1658이다.
• S=100, σ=0.3, r=0.04인 로그정규분포 게임의 경우, 최적의 가격은 u ≈ 95.6132이며, 성장률은 e^0.04 ≈ 1.0408에 도달한다.
• 블랙-숄즈 공식은 유럽식 팻 옵션에 대해 더 높은 가격(u ≈ 21.2176)을 산출하지만, 이는 최적의 가격(u ≈ 17.8157)이 도달하는 1.0833보다 낮은 성장률(1.0096)을 초래한다.
• 유럽식 팻 옵션의 최적 가격에서의 최적 투자 비율은 t_u ≈ 0.5434이며, 블랙-숄즈 가격에서의 비율은 t_u ≈ 0.2278이다.
• 논문은 E = ∞ 또는 E < ∞일 때, G_u(t)가 u ∈ (0, E)에서 연속적이고 엄격히 감소함을 증명하여 최적 가격의 존재성과 유일성을 보장한다.