[논문 리뷰] Games and hereditary Baireness in hyperspaces and spaces of probability measures

Mikołaj Krupski|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 04.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 31인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 분리 가능 메트릭 공간 X에 대해 초공간 K(X)와 확률측도 공간 Pr(X)에서의 유전적 Baire 성질에 대해 게임 이론적 특성화를 수립한다. 수정된 Choquet 게임을 사용하여, K(X)가 유전적 Baire일 필요충분조건은 X에서 강력한 Choquet 게임에서 플레이어 II가 승리 전략을 가진다는 것임을 증명한다. 이는 Pr(X) 또한 유전적 Baire임을 암시한다. 주요 기여는 [0,1]의 Gδ가 아닌 부분집합에 대해 ZFC에서 유전적 Baire 성질을 가진 Radon 측도 공간을 구성한 최초의 예시이다.

ABSTRACT

We establish that the existence of a winning strategy in certain topological games, closely related to a strong game of Choquet, played in a topological space $X$ and its hyperspace $K(X)$ of all nonempty compact subsets of $X$ equipped with the Vietoris topology, is equivalent for one of the players. For a separable metrizable space $X$, we identify a game-theoretic condition equivalent to $K(X)$ being hereditarily Baire. It implies quite easily a recent result of Gartside, Medini and Zdomskyy that characterizes hereditary Baire property of hyperspaces $K(X)$ over separable metrizable spaces $X$ via the Menger property of the remainder of a compactification of $X$. Subsequently, we use topological games to study hereditary Baire property in spaces of probability measures and in hyperspaces over filters on natural numbers. To this end, we introduce a notion of strong $P$-filter $\mathcal{F}$ and prove that it is equivalent to $K(\mathcal{F})$ being hereditarily Baire. We also show that if $X$ is separable metrizable and $K(X)$ is hereditarily Baire, then the space $P_r(X)$ of Borel probability Radon measures on $X$ is hereditarily Baire too. It follows that there exists (in ZFC) a separable metrizable space $X$ which is not completely metrizable with $P_r(X)$ hereditarily Baire. As far as we know this is the first example of this kind.

연구 동기 및 목표

• 분리 가능 메트릭 공간 X에 대해 K(X)가 유전적 Baire일 것인가의 게임 이론적 조건을 수립하기 위해.
• 위상 게임을 이용하여 Borel 확률 Radon 측도 공간 Pr(X)에서의 유전적 Baire 성질을 조사하기 위해.
• N 위의 강력한 P-필터를 도입하고, 그들이 K(F)의 유전적 Baire 성질과 어떻게 관련되어 있는지 특성화하기 위해.
• 유전적 Baire 성질을 가진 Radon 측도 공간을 가지는, [0,1]의 완전히 메트라이즈되지 않은 Gδ가 아닌 부분공간에 대한 ZFC 예시를 제공하기 위해.
• 콤���팩티피케이션의 잔여부분의 Menger 성질과 K(X)의 유전적 Baire 성질 사이의 관계를 탐구하기 위해.

제안 방법

• 위상 공간 X에서 K(X)의 유전적 Baire 성질을 특성화하기 위해 수정된 강력한 Choquet 게임 Ch(X)를 도입한다.
• 플레이어 II가 Ch(X)에서 승리 전략을 가진다면 K(X)가 유전적 Baire임을 게임 이론적 접근을 통해 증명한다.
• Telgarsky의 Menger 공간과 콤팩티피케이션에 관한 결과를 적용하여, 잔여부분 Z\X의 Menger 성질이 K(X)의 유전적 Baire 성질과 연결됨을 보인다.
• Pr(X)가 유전적 Baire가 아니면 모순이 발생함을 도출하기 위해, 측도 P(Z)의 행동을 분석하기 위해 게임 GZ\X1(Ok,O)에서 전략 σn을 구성한다.
• N 위의 강력한 P-필터를 정의하고, 필터 F가 강력한 P-필터일 필요충분조건이 K(F)가 유전적 Baire임을 증명한다.
• P(Z)에서 컴팩티니스와 완비성의 논증을 사용하여, Mn의 수열의 완비적 축적점 λ가 Pr(X)에 속해야 함을 보이고, Pr(X)가 유전적 Baire가 아니면 모순이 발생함을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분리 가능 메트릭 공간 X에 대해, K(X)의 유전적 Baire 성질에 대한 게임 이론적 특성화는 존재하는가?
• RQ2 K(X)의 유전적 Baire 성질은 X 위의 Borel 확률 Radon 측도 공간 Pr(X)의 유전적 Baire 성질을 암시하는가?
• RQ3 N 위의 강력한 P-필터는 그 초공간 K(F)의 유전적 Baire 성질을 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ4 ZFC에서 [0,1]의 Gδ가 아닌 부분집합 X에 대해, 그 Radon 측도 공간이 유전적 Baire 성질을 가지는 예시는 존재하는가?
• RQ5 콤팩티피케이션의 잔여부분의 Menger 성질과 K(X)의 유전적 Baire 성질 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 분리 가능 메트릭 공간 X에 대해, K(X)는 강력한 Choquet 게임 Ch(X)에서 플레이어 II가 승리 전략을 가질 때 유전적 Baire이다.
• X가 분리 가능 메트릭 공간이고 K(X)가 유전적 Baire이면, Pr(X) 또한 유전적 Baire이지만, X가 완전히 메트라이즈되지 않아도 된다.
• ZFC에서 Gδ가 아닌 부분집합 X ⊆[0,1]이 존재하여 Pr(X)가 유전적 Baire이며, 이는 완비성에 대한 열린 질문에 대해 부정적인 답변을 제공한다.
• N 위의 필터 F가 강력한 P-필터일 필요충분조건은 K(F)가 유전적 Baire이므로, {0,1}N\F가 Menger임과 동치이다.
• 콤팩티피케이션 Z의 잔여부분 Z\X의 Menger 성질은 K(X)가 유전적 Baire임과 동치이며, 이는 Gartside, Medini, Zdomskyy의 결과를 더 단순한 증명으로 복원한다.
• K(X)는 플레이어 I이 게임 GZ\X1(O*,O)에서 승리 전략을 가지지 않을 때 유전적 Baire이다. 이는 게임 이론적 성질과 위상적 성질을 연결한다.