[논문 리뷰] Gamma factors for Asai representations of ${ m GL}_2$

Shih-Yu Chen, Cheng Yao외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 30.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이차 확장 E/F 위에서 GL₂의 Asai 표현에 대한 감마 인자들이 국소 제타 적분(Rankin-Selberg 및 Piatetski-Shapiro–Rallis)과 Weil-Deligne 표현 간의 명시적 공식을 수립한다. L-인자와 에psilon 인자들이 제타 적분으로부터 유도된 것과 Langlands 매개변수화로부터 유도된 것들이 일치함을 증명하며, 중심 문자, 노름 문자, Langlands 상수 λE/F(ψ)를 포함한 정확한 에psilon 인자 항등식을 제시한다. 이는 아르키메데스 및 비아르키메데스 경우 모두에서 n=1과 n=2의 이론을 완성한다.

ABSTRACT

Let $E$ be a quadratic semisimple extension of a local field $F$ of characteristic zero. We determine explicit relation between gamma factors for Asai representations of $R_{E/F}{ m GL}_{2/E}$ defined by the Weil-Deligne representations and local zeta integrals. When $E = F imes F$, the results were due to Henniart and Jacquet. We completed the theory in this article based on explicit calculation.

연구 동기 및 목표

• GL₂(E)에 대한 Asai 표현의 감마 인자 이론을 완성하기 위해, 제타 적분 인자와 Weil-Deligne 표현으로부터의 인자 간 비교를 수행한다.
• E가 F×F가 아니며 F가 아르키메데스 또는 비아르키메데스인 경우를 해결하여 Henniart, Jacquet 등 이전 결과를 확장한다.
• 중앙 문자, 노름 문자, Langlands 상수 λE/F(ψ)를 포함한 정확한 에psilon 인자 공식을 수립하여 p-진 L-함수 구성에 핵심적이다.
• s=1/2에서의 에psilon 인자를 이용해 GL₂(F) 위의 삼중선형 형식에 대한 이분법 기준을 증명한다.
• Ichino의 공식과 국소 주기 적분을 통해 비틀린 삼중곱 p-진 L-함수의 명시적 보간 공식을 제공한다.

제안 방법

• 저자들은 국소 Langlands 대응을 사용하여 GL₂(E)의 무한정 표현 π와 GLₙ(F)의 무한정 표현 τ에 대해 Weil-Deligne 매개변수를 부여하고, (r∘ϕπ)⊗ϕτ 형태의 텐서 표현을 구성한다.
• Asai 표현 r은 GL₂(C)×GL₂(C)에서의 텐서 유도로 정의되며, Galois 작용이 σ|E가 자명한지 여부에 따라 성분을 뒤바꿈한다.
• n=1인 경우, Rankin-Selberg 제타 적분 LRS(s, Asπ⊗τ)와 εRS(s, Asπ⊗τ,ψ,ξ)를 Galois L- 및 ε-인자 LGal(s, Asπ⊗τ) 및 εGal(s, Asπ⊗τ,ψ)와 비교한다.
• n=2인 경우, Piatetski-Shapiro–Rallis 제타 적분 LPSR(s, Asπ⊗τ)와 εPSR(s, Asπ⊗τ,ψ,ξ)를 사용하며, π와 τ가 일반적이고 τ가 주요 시리즈의 부분몫임을 가정한다.
• 아르키메데스 및 비아르키메데스 경우 모두에서 명시적 계산을 수행하고, 제타 적분의 함수방정식과 GL₂-불변 함수형의 유일성을 이용해 감마 인자를 특정한다.
• 함수방정식 Z(M*f(s),W) = γRS(s,Asπ,ψ,ξ)Z(f(s),W)를 유도하고, 알려진 L-함수 정규화를 통해 감마 인자를 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GL₂(E)에 대한 Asai 표현에 대해 제타 적분을 통한 국소 L- 및 ε-인자와 Weil-Deligne 매개변수화로부터 유도된 인자 간의 비교는 어떻게 이루어지는가?
• RQ2 n=1인 경우, 제타 적분에서 유도된 에psilon 인자와 Galois 에psilon 인자 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 n=2인 경우의 비틀린 감마 인자의 명시적 공식은 무엇이며, Galois 인자와 중심 문자와의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ4 π⊗τ 위에 GL₂(F)-불변 삼중선형 형식이 존재하는 조건은 무엇이며, 이는 s=1/2에서의 에psilon 인자와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이러한 국소 인자 항등식은 어떻게 비틀린 삼중곱 p-진 L-함수의 구성과 보간에 활용될 수 있는가?

주요 결과

• n=1이고 π가 일반적인 경우, Rankin-Selberg L-인자 LRS(s, Asπ⊗τ)는 Galois L-인자 LGal(s, Asπ⊗τ)와 같다.
• Rankin-Selberg 에psilon 인자는 εRS(s, Asπ⊗τ,ψ,ξ) = ωπ(ξ)ωτ(ξ²)|ξ²|_F^{s−1/2}λE/F(ψ)⁻¹εGal(s, Asπ⊗τ,ψ)를 만족하며, 이는 두 인자화 간의 명시적 관계를 제공한다.
• n=2인 경우, Piatetski-Shapiro–Rallis 감마 인자는 γPSR(s, Asπ⊗τ,ψ,ξ) = ω(4ξ²)⁻¹|4ξ²|_F^{−2s+1}ωE/F(−1)γGal(s, Asπ⊗τ,ψ)를 만족하며, 여기서 ω = ωπ|F×·ωτ이다.
• 이분법 기준이 성립한다: HomGL₂(F)(π⊗τ,ℂ) ≠ 0이 되기 위한 필요충분조건은 ωE/F(−1)εGal(1/2, Asπ⊗τ) = 1이다.
• 결과들은 비틀린 삼중곱 p-진 L-함수의 구성에 필수적이며, Ichino의 공식에서 국소 주기 적분의 비영성과 양호한 p-진 행동을 확인한다.
• 제타 적분의 함수방정식은 GL₂-불변 함수형의 유일성과 침습 연산자 M*의 명시적 계산을 통해 증명된다.