[논문 리뷰] Gamma factors for genuine principal series of covering groups (with an appendix by Caihua Luo)

Fan Gao, Freydoon Shahidi외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 07.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 필드 위의 재귀적 군의 진정한 주어진 계열에 대한 국소 계수 행렬을 연구한다. 여기서 월리커 기능은 유일하게 결정되지 않는다. 논문은 캐슬먼-샬리카 유형의 공식을 수립하고, 국소 계수 행렬, 감마 인자, 메타플레틱-감마 인자 간의 깊은 연결 고리를 드러낸다. 특히 $\mathrm{GL}_2$에서 $\mathrm{SL}_2$로의 제약 설정에서 중요한 결과를 얻는다.

ABSTRACT

We consider an $n$-fold Brylinski-Deligne cover of a reductive group over a $p$-adic field. Since the space of Whittaker functionals of an irreducible genuine representation of such a cover is not one-dimensional, one can consider a local coefficients matrix arising from an intertwining operator, which is the natural analogue of the local coefficients in the linear case. In this paper, we concentrate on genuine principal series and establish some fundamental properties of such a local coefficients matrix, including the investigation of its arithmetic invariants. As a consequence, we prove a form of the Casselman-Shalika formula which could be viewed as a natural analogue for linear algebraic groups. We also investigate in some depth the behaviour of the local coefficients matrix with respect to the restriction of genuine principal series from covers of ${ m GL}_2$ to ${ m SL}_2$. In particular, some further relations are unveiled between local coefficients matrices and gamma factors or metaplectic-gamma factors.

연구 동기 및 목표

• 재귀적 군의 $n$-중 커버링에 대한 진정한 표현에 대해, 기능의 공간이 일차원이 아닐 때 월리커 기능의 구조를 이해하는 것.
• 진정한 주어진 계열 설정에서 상호 연결 연산자로부터 유도되는 국소 계수 행렬을 정의하고 분석하는 것.
• 선형 경우의 자연스러운 일반화로서 커버링 군에 대해 캐슬먼-샬리카 유형의 공식을 수립하는 것.
• $\mathrm{GL}_2$에서 $\mathrm{SL}_2$ 커버링으로의 제약 하에서 국소 계수 행렬의 행동을 조사하는 것.
• 국소 계수 행렬과 감마 인자, 특히 메타플레틱-감마 인자 간의 구조적이고 산술적 관계를 밝혀내는 것.

제안 방법

• 진정한 주어진 계열 표현에서 웨일 군 작용에 의해 유도된 월리커 기능 간의 전이 행렬로 국소 계수 행렬을 구성하는 것.
• 브릴린스키-델라인 커버링 이론을 활용하여 $p$-진 필드 위의 재귀적 군의 $n$-중 커버링을 모델링하는 것.
• 유도된 표현 간의 상호 연결 연산자를 적용하여 국소 계수 행렬을 유도하고, 그 해석적 및 산술적 성질을 분석하는 것.
• 메타플레틱 군과 그 $L$-함수 이론을 활용하여 국소 계수 행렬이 감마 인자와 어떻게 연결되는지 분석하는 것.
• $\mathrm{GL}_2$에서 $\mathrm{SL}_2$ 커버링으로의 진정한 주어진 계열의 제약을 분석하여 구조적 대칭성과 인수 분해 패턴을 드러내는 것.
• Caihua Luo의 부록을 활용하여 커버링 군의 구조와 표현 이론 분석에 필요한 기본 기술 도구를 제공하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재귀적 군의 $n$-중 커버링에 대한 진정한 주어진 계열 표현에서 국소 계수 행렬은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 이러한 표현에서 월리커 기능의 구조는 무엇이며, 선형 경우와 어떻게 다를까?
• RQ3 진정한 주어진 계열의 커버링 군에 대해 캐슬먼-샬리카 유형의 공식을 수립할 수 있는가?
• RQ4 $\mathrm{GL}_2$에서 $\mathrm{SL}_2$ 커버링으로의 제약 하에서 국소 계수 행렬은 어떻게 변환되는가?
• RQ5 국소 계수 행렬과 감마 인자, 특히 메타플레틱-감마 인자 간의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 진정한 주어진 계열의 $n$-중 커버링에 대해 국소 계수 행렬은 잘 정의되어 있으며, 선형 경우를 일반화하는 비자명한 산술적 구조를 지닌다.
• 진정한 주어진 계열에 대해 캐슬먼-샬리카 유형의 공식이 수립되어, 랑랜즈 매개변수와 루트 시스템 자료에 기반한 월리커 벡터의 특성 공식을 제공한다.
• $\mathrm{GL}_2$에서 $\mathrm{SL}_2$ 커버링으로의 진정한 주어진 계열의 제약은 국소 계수 행렬의 비자명한 분해를 유도하며, 숨겨진 대칭성을 드러낸다.
• 국소 계수 행렬이 메타플레틱-감마 인자와 깊이 연결되어 있음이 입증되었으며, $\mathrm{GL}_2$에서 $\mathrm{SL}_2$로의 제약 사례에서 명시적인 관계가 나타난다.
• 국소 계수 행렬의 산술 불변량, 예를 들어 극점과 잔여물은 $L$-함수의 해석적 행동과 연결되어 조사되었다.
• Caihua Luo의 부록은 $n$-중 커버링의 분류와 관련된 웨일 군 작용의 구조를 포함하여 필수적인 기초 기술을 제공한다.