[논문 리뷰] Gapped boundaries of (3+1)d topological orders

Zhu-Xi Luo|arXiv (Cornell University)|2022. 12. 19.

Theoretical and Computational Physics인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 (3+1)d 토폴로지적 순서의 간극 있는 경계의 종류를 재정의하며, 분리된 (2+1)d 토폴로지적 순서 외에도 프랙탈릭 시스템과 같은 특이한 표면 상을 몫으로 취한다. 서로 다른 경계 종류는 그들의 끝점과 관계없이 양자 스트링 비틀림 진동자가 경계에 끝날 수 있는지 여부에 의해 분류됨을 보여주며, 이는 (3+1)d 보존적 $\beta$-토릭 코드의 경우 이러한 종류들이 기초 군 $G$의 정상 부분군과 일대일 대응됨을 시사한다. 이로써 기존의 거친, 매끄러운, 왜곡된 매끄러운 유형 외에도 새로운 경계 유형이 도출된다.

ABSTRACT

Given a gapped boundary of a (3+1)d topological order (TO), one can stack on it a decoupled (2+1)d TO to get another boundary theory. Should one view these two boundaries as "different"? A natural choice would be no. Different classes of gapped boundaries of (3+1)d TO should be defined modulo these decoupled (2+1)d TOs. But is this enough? We examine the possibility of coupling the boundary of a (3+1)d TO to additional (2+1)d TOs or fractonic systems, which leads to even more possibilities for gapped boundaries. Typically, the bulk point-like excitations, when touching the boundary, become excitations in the added (2+1)d phase, while the string-like excitations in the bulk may end on the boundary but with endpoints dressed by some other excitations in the (2+1)d phase. For a good definition of "class" for gapped boundaries of (3+1)d TO, we choose to quotient out the different dressings as well. We characterize a class of gapped boundaries by the string-like excitations that can end on the boundary, whatever their endpoints are. A concrete example is the (3+1)d bosonic toric code. Using group cohomology and category theory, three gapped boundaries have been found previously: rough boundary, smooth boundary and twisted smooth boundary. We can construct many more gapped boundaries beyond these, which all naturally fall into two classes corresponding to whether the $m$-string can or cannot end on the boundary. According to this classification, the previously found three boundaries are grouped as {rough}, {smooth, twisted smooth}. For a (3+1)d TO characterized by a finite group $G$, different classes correspond to different subgroups of $G$. We illustrate the physical picture from various perspectives including coupled layer construction, Walker-Wang model and field theory.

연구 동기 및 목표

• 분리된 (2+1)d 토폴로지적 순서에서 비롯되는 중복을 제거하여 (3+1)d 토폴로지적 순서의 간극 있는 경계를 분류하는 데서 발생하는 애매함을 해결하기 위해.
• 분리된 (2+1)d 상들만 몰아내는 것이 서로 다른 경계 종류를 정의하는 데에 충분한가를 조사하기 위해.
• 프랙탈릭 시스템이나 anyonic 토폴로지적 순서와 같은 특이한 2차원 상과의 결합이 새로운 물리적으로 구별 가능한 간극 있는 경계 이론을 생성하는 데 어떤 역할을 하는가를 탐색하기 위해.
• 경계에 끝날 수 있는 보강 스트링 진동자의 종류에 기반한 통합된 분류 체계를 수립하기 위해, 이는 그 끝점의 구조와는 무관하다.
• 유한군 모델으로 일반화하여, (3+1)d 토폴로지적 순서를 특징짓는 군 $G$의 정상 부분군과 경계 종류가 대응됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 분리된 (3+1)d 보강체와 (2+1)d 토폴로지적 순서 또는 프랙탈릭 시스템을 쌓아 간극 있는 경계를 실현하기 위해 층상 결합 기법을 사용한다.
• 워커-왕 모델을 통해 보강체 (3+1)d 토폴로지적 순서를 실현하고, 경계에 스트링넷 모델을 적용하며, anyon 응집을 통해 결합한다.
• 장 이론과 이상 현상 유입 메커니즘을 활용하여 경계 데이터로부터 보강체를 재구성하며, 특히 표면 anyon 응집과 모노드로미 조건을 분석한다.
• 범주 이론과 군 코hom로지 이론을 활용하여 라그랑주 대수와 보강체 anyon 및 표면 anyon의 복합체를 통해 경계 유형을 분류한다.
• 보강체 스트링 연산자가 경계에 끝날 수 있는지 여부에 기반한 기준을 도입하며, 이는 경계 종류의 정의적 불변량으로서의 역할을 한다. 이는 끝점 진동자의 존재와는 무관하다.
• 이를 통해 (3+1)d $\mathbb{Z}_2$ 토릭 코드의 경우 경계 종류가 $\mathbb{Z}_2$의 정상 부분군과 일대일 대응됨을 보여준다. 즉, $\{e\}$와 $\mathbb{Z}_2$이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분리된 (2+1)d 토폴로지적 순서 외에도 간극 있는 경계를 의미 있게 분류할 수 있는가?
• RQ2 프랙탈릭 시스템이나 anyonic 토폴로지적 순서와 같은 특이한 2차원 상과 (3+1)d 토폴로지적 순서를 결합하면 어떤 일이 발생하는가?
• RQ3 보강체 스트링 진동자가 경계에 끝날 수 있는 능력이 서로 다른 경계 유형을 분류하는 데 있어 강건한 불변량이 될 수 있는가?
• RQ4 경계에 끝나는 스트링의 끝점이 간극 있는 경계의 분류에 어떤 영향을 미치며, 이러한 의존성은 제거될 수 있는가?
• RQ5 유한군 $G$로 특징지어지는 (3+1)d 토폴로지적 순서의 경우, 서로 다른 경계 종류에 대응하는 $G$의 대수적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 (3+1)d 보존적 $\mathbb{Z}_2$ 토릭 코드에 대해 두 가지 다른 경계 종류를 식별한다. 이는 $m$-스트링이 경계에 끝날 수 있는지 여부에 따라 결정되며, 이는 $\mathbb{Z}_2$의 자명한 부분군과 전체 부분군에 대응된다.
• 이전에 알려진 세 가지 경계—거친, 매끄러운, 왜곡된 매끄러운—은 $m$-스트링의 끝날 수 있는 능력에 따라 두 집합으로 분류된다: {거친}과 {매끄러운, 왜곡된 매끄러운}이다.
• 추가적인 (2+1)d 토폴로지적 순서 또는 프랙탈릭 시스템과의 결합을 통해 새로운 간극 있는 경계를 구성하며, 이로 인해 보강체에 존재하지 않는 비정상적인 표면 진동자가 발생한다.
• 경계 종류의 분류가 (3+1)d 토폴로지적 순서를 특징짓는 유한군 $G$의 정상 부분군의 분류와 동치임을 보여준다.
• 이 틀은 보강체에 이러한 진동자가 없는 경우에도 비정상적인 표면 anyon과 이동 제약 조건을 가진 경계를 구성할 수 있도록 허용한다.
• 이 방법은 분리된 (2+1)d 토폴로지적 순서뿐 아니라 특이한 표면 상까지도 몰아내며, 보강체 스트링의 끝날 수 있는 능력을 핵심 불변량으로 사용함으로써 물리적으로 타당하고 수학적으로 일관된 분류를 제공한다.