[논문 리뷰] GARCH-extended models: theoretical properties and applications

Giles-Arnaud Nzouankeu Nana, Ralf Korn외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 25.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 외생 변수를 포함하는 GARCH-확장형(GARCHX) 모형에서 정상성, 강ergodicity, 모멘트 존재성, 최대우도추정기의 점근정규성에 대한 충분조건(때로는 필수조건)을 수립한다. 이는 외생 변수의 광범위한 변환을 允허하고, GJR-GARCH 및 EGARCH를 포함한 거의 모든 GARCH(1,1) 변형에 대해 이론적 성질을 증명함으로써 이전 연구를 일반화한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with some properties of the generalized GARCH models, obtained by extending GARCH models with exogenous variables, the so-called GARCH extended (GARCHX) models. For these, we establish sufficient conditions for some properties such as stationarity, existence of moments, ergodicity, geometric ergodicity, consistence and asymptotic normality of likelihood estimators of the model parameters. For some of these properties we show that the conditions that we propose are also necessary. We further provide examples and applications to illustrate and highlight the importance of our findings.

연구 동기 및 목표

• 외생 변수를 포함하는 GARCH-확장 모형에서 핵심 확률적 성질—정상성, 강ergodicity, 기하적 강ergodicity, 모멘트 존재성—에 대한 엄밀한 이론적 조건을 수립하기 위해.
• 이전의 QMLE( quasi-maximum likelihood estimator) 점근이론을 일반화하기 위해, 제곱형태가 아닌 일반적인 외생 변수의 변환을 允허함으로써 GARCHX(1,1) 모형의 점근이론을 확장하기 위해.
• 다양한 GARCHX 변형을 통합하는 프레임워크에서 최대우도추정기의 일致성과 점근정규성에 대한 필요충분조건을 제공하기 위해.
• 실제 금융 데이터에 대한 적용 예시를 통해 이러한 이론적 결과의 실용적 관련성을 보여주기 위해.

제안 방법

• 저자는 외생 변수의 변환, 잡음 과정, 그리고 거듭제곱 δ를 갖는 GARCH 유형 동적 구조를 포함하는 일반적인 GARCHX(1,1) 모형을 정의한다.
• Lyapunov 유형 조건과 모멘트 생성 함수를 사용하여 정상성, 강ergodicity, 기하적 강ergodicity에 대한 충분조건를 유도한다.
• 최대우도추정기의 이론적 분석은 마팅게일 차분 과정과 점근적 점근수렴을 통한 점수 함수 및 헤시안 함수의 균일 수렴을 포함한다.
• 논문은 정상 마팅게일 차분에 대한 불변성 원리와 Slutsky의 보조정리를 사용하여 관측 점수 함수의 점근정규성을 확립한다.
• 핵심 기술 도구로는 강ergodic 과정에 대한 대수의 약법과 컴act 매개변수 이웃 영역에서의 균일 수렴을 사용한다.
• 이론적 결과는 표준 GARCH, GJR-GARCH, EGARCH와 같은 잘 알려진 모형을 포함하는 구체적 예시를 통해 검증된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 외생 변수의 일반적 변환을 포함하는 GARCHX(1,1) 모형이 어떤 조건에서 엄격히 정상적이고 강ergodic한가?
• RQ2 외생 변수를 포함하는 GARCHX(1,1) 모형에서 모멘트 존재성에 대한 필수 및 충분조건는 무엇인가?
• RQ3 정규성 조건이 충족될 경우, GARCHX(1,1) 모형의 준최대우도추정기(QMLE)는 어떤 조건에서 일치성과 점근정규성을 갖는가?
• RQ4 GARCHX 모형의 이론적 성질은 외생 변수 변환의 함수 형태 u(x)에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 u(x) = 1 + λx²와 같은 특정 형태에 대해 이전에 얻어진 QMLE 이론 결과는 어느 정도 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 정상성과 강ergodicity에 대한 충분조건가 유도되었으며, 일부 조건는 필수이자 충분한 것으로 확인되었다.
• 함수 g, c, u에 대한 약한 모멘트 및 성장 조건 하에서 모형은 기하적 강ergodicity를 확보하여 강혼합성과 강ergodic 행동을 보장한다.
• 정규성 조건 하에서 준최대우도추정기(QMLE)는 일치성과 점근정규성을 증명하였다. 이는 유한한 4차 모멘트와 균일 적분 가능성 조건 포함된다.
• 마팅게일 차분에 대한 불변성 원리와 Slutsky의 보조정리를 통해 점수 함수의 점근정규성이 확립되었으며, 한계 분산은 (κ−1)/δ² 배의 피셔 정보 행렬 비례한다.
• 로그우도의 헤시안 행렬은 확률적으로 균일하게 기대값으로 수렴하여 추정기의 점근정규성을 보장한다.
• 이론적 프레임워크는 Han과 Kristensen(2012) 및 Han과 Park(2012)의 이전 결과를 일반화하여, 외생 변수의 임의의 변환을 포함하는 광범위한 GARCHX 모형으로 확장한다.