[논문 리뷰] Gas Bubble Growth Dynamics in a Supersaturated Solution: Henry's and Sievert's Solubility Laws

А. Е. Кучма, Gennady Y. Gor외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 24.

Calcium Carbonate Crystallization and Inhibition참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 라플라스 압력과 헨리의 법칙 및 시에버트의 법칙을 구분하는 초과포화 용액에서 기체 기포 성장의 이론적 모델을 제시한다. 두 법칙 하에서 기포 반지름의 진화에 대한 해석적 해를 유도하며, 세 가지의 명확한 성장 단계를 규명하고, 정상 상태 확산 근사의 유효 조건을 제시하며, 시에버트의 법칙 하에서의 용해 역학에 대한 명시적 표현을 제공한다.

ABSTRACT

Theoretical description of diffusion growth of a gas bubble after its nucleation in supersaturated liquid solution is presented. We study the influence of Laplace pressure on the bubble growth. We consider two different solubility laws: Henry's law, which is fulfilled for the systems where no gas molecules dissociation takes place and Sievert's law, which is fulfilled for the systems where gas molecules completely dissociate in the solvent into two parts. We show that the difference between Henry's and Sievert's laws for chemical equilibrium conditions causes the difference in bubble growth dynamics. Assuming that diffusion flux of dissolved gas molecules to the bubble is steady we obtain differential equations on bubble radius for both solubility laws. For the case of homogeneous nucleation of a bubble, which takes place at a significant pressure drop bubble dynamics equations for Henry's and Sievert's laws are solved analytically. For both solubility laws three characteristic stages of bubble growth are marked out. Intervals of bubble size change and time intervals of these stages are found. We also obtain conditions of diffusion flux steadiness corresponding to consecutive stages. The fulfillment of these conditions is discussed for the case of nucleation of water vapor bubbles in magmatic melts. For Sievert's law the analytical treatment of the problem of bubble dissolution in a pure solvent is also presented.

연구 동기 및 목표

• 초과포화 용액에서 기체 기포 성장의 이론적 프레임워크를 개발하여, 핵형성 시작 이래 시간에 따라 변화하는 라플라스 압력을 고려한다.
• 마그마 시스템에서 특히 중요한, 선형 용해도를 가지는 헨리의 법칙과 제곱근 의존성을 가지는 시에버트의 법칙에 따른 기포 성장 역학을 비교한다.
• 두 용해도 법칙 하에서 시간에 따른 기포 반지름에 대한 해석적 표현을 유도하고, 세 가지의 명백한 성장 단계를 규명한다.
• 기포 핵형성 이후 다단계 성장 과정에서 정상 상태 확산 근사가 유지되는 조건을 설정한다.
• 순수 용매에서 시에버트의 용해도 법칙 하에서 기포 용해의 첫 해석적 처리를 제공한다.

제안 방법

• 시간에 따라 변화하는 라플라스 압력이 기체 밀도와 평형 용해도에 영향을 주는 확산 제어 성장 모델을 수립하며, 기체의 유입류는 정상 상태로 가정한다.
• 레이일리-플레시의 형식에 기반한 기포 반지름 진화에 대한 미분방정식을 유도하며, 표면장력과 기포 계면에서의 압력 평형을 포함한다.
• 다양한 기체-용매 시스템을 모델링하기 위해 헨리의 법칙(농도가 압력에 비례)과 시에버트의 법칙(농도가 압력의 제곱근에 비례)을 적용한다.
• 균일한 핵형성 조건에서 해석적 해를 도출하여, 가속 성장, 감속 성장, 자기유사 영역이라는 세 가지 성장 단계를 식별한다.
• 표면장력, 확산 계수, 점도의 추정치를 사용하여 페클레 수와 점성 효과를 분석함으로써 정상 상태 근사의 유효 조건을 유도한다.
• 비선형 미분방정식을 해결하기 위해 변수 치환과 적분 기법을 사용하여, 시에버트의 법칙 하에서 기포 용해의 해석적 해를 도출하고, 시간에 따른 반지름과 총 용해 시간의 명시적 표현을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헨리의 법칙과 시에버트의 용해도 법칙의 선택이 초과포화 용액에서 기체 기포 성장 역학에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 기포 성장의 세 가지 특징적인 단계는 무엇이며, 헨리의 법칙과 시에버트의 법칙 하에서 이들의 시간 및 크기 간격은 어떻게 다를까?
• RQ3 기포 핵형성 이후 성장 과정에서 정상 상태 확산 근사가 유효한 조건는 무엇인가?
• RQ4 순수 용매에서 시에버트의 용해도 법칙 하에서 기포가 완전히 용해되는데 필요한 시간에 대한 해석적 표현은 무엇인가?
• RQ5 점성 저항은 고점성 시스템, 예를 들어 리요리트 마그마에서 정상 상태 근사의 적용 가능성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 기포 성장의 세 가지 명백한 단계가 규명되었다: (1) 가속 성장, (2) 감속 성장, (3) 자기유사 영역에서 라플라스 압력이 외부 압력과 유사해지는 단계.
• 헨리의 법칙과 시에버트의 법칙 모두에서 첫 두 단계는 시간과 크기 의존성이 다르지만, 세 번째 단계의 역학은 용해도 법칙에 관계없이 수렴한다.
• 기포가 커질수록 정상 상태 근사가 붕괴되며, 이 조건은 시간이 지남에 따라 더욱 엄격해진다; 라플라스 압력 효과가 소멸하는 임계 시간은 해석적으로 추정된다.
• 시에버트의 법칙 하에서 初기 반지름 $ R_i $ 를 가진 기포의 총 용해 시간은 $ R_i \to \text{large} $ 일 때 $ t_d = \frac{R_i^2}{2Ds} $ 이고, $ R_i \to \text{small} $ 일 때 $ t_d = \big(\frac{2}{3}\big)^{3/2} \frac{R_i^{3/2} R_\rho^{1/2}}{Ds} $ 이다.
• 레이일리-플레시 방정식에서 점성 효과를 무시할 수 있는 조건은 $ \nu \ll 10^3~{} \text{Pa·s} $ 이며, 이는 물과 베이시티크/안데시틱 마그마에서는 성립하지만 고규소 리요리트 마그마에서는 성립하지 않는다.
• 시에버트의 법칙 하에서 용해의 해석적 해가 처음으로 유도되었으며, 큰 및 작은 初기 반지름의 극한 경우에 대한 $ t_d $ 의 정확한 표현이 제공된다.