[논문 리뷰] "Gauge" in General Relativity: Second-order general relativistic gauge-invariant perturbation theory

K. Nakamura|ArXiv.org|2007. 11. 07.

Relativity and Gravitational Theory참고 문헌 2인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론에서 두 가지 유형의 게이지 자유도를 엄밀히 구분함으로써 제2계 게이지 불변 섭동 이론을 수립한다: 좌표(제1종) 게이지와 점 식별(제2종) 게이지. 리 도함수를 사용하여 메트릭 및 물질 장에 대해 제1계와 제2계에서 명시적인 게이지 불변 변수를 유도함으로써, 비선형 섭동 계산에서 물리적으로 의미 없는 게이지 잔여물 없이 우주론 및 천체물리학에서 일관된 계산이 가능해진다.

ABSTRACT

As in the case of the other gauge field theories, there is so called ``gauge'' also in general relativity. This ``gauge'' is unphysical degree of freedom. There are two kinds of ``gauges'' in general relativity. These are called the first- and the second-kind of gauges, respectively. The gauge of the first kind is just coordinate system on a single manifold. On the other hand, the gauge of the second kind arises in the general relativistic perturbations. Through the precise distinction of these two concepts of ``gauges'', we develop second-order gauge-invariant general relativistic perturbation theory.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성 이론에서 두 가지 유형의 게이지 자유도인 좌표(제1종) 게이지와 점 식별(제2종) 게이지 사이의 개념적 구분을 명확히 하기.
• 배경 및 물리적 시공간이라는 두 개의 별개의 시공간을 연결하는 제2종 게이지의 해석을 통해 고차 섭동 이론에서의 모호함을 해결하기.
• 제2계 섭동 이론에서 게이지 불변 변수를 체계적으로 구성하는 프레임워크를 개발하기.
• 게이지 의존성 잔여물이 제거됨으로써, 우주론, 블랙홀 섭동, 이원성계에서의 일관된 비선형 계산을 가능하게 하기.
• 메트릭 및 물질 장을 포함한 임의의 텐서 장에 대해 게이지 불변 및 게이지 변성 성분으로 분해하는 일반적인 형식을 제공하기.

제안 방법

• 일단의 게이지 자유도를 일반 공변성에 기인한 단일 다양체 위의 좌표계로 구분한다.
• 제2종 게이지 자유도를 배경 시공간 $\mathcal{M}_0$ 와 물리적 시공간 $\mathcal{M}$ 사이의 미분형사 $\mathcal{X}: \mathcal{M}_0 \to \mathcal{M}$ 의 선택으로 식별한다.
• 일련의 미분형사 $\Phi_\lambda = \mathcal{X}_\lambda^{-1} \circ \mathcal{Y}_\lambda$ 에 따른 텐서 장의 당김을 통해 게이지 변환 법칙을 유도한다.
• 당김의 테일러 전개를 통해 변환 법칙을 유도한다: $\delta^{(1)}Q = \mathcal{L}_{\xi_1} Q_0$, $\delta^{(2)}Q = 2\mathcal{L}_{X} \delta^{(1)}Q + (\mathcal{L}_{Y} - \mathcal{L}_X^2)Q_0$.
• 게이지 불변 변수를 $^{(1)}\!\mathcal{Q} = {}^{(1)}\!Q - \mathcal{L}_X Q_0$, $^{(2)}\!\mathcal{Q} = {}^{(2)}\!Q - 2\mathcal{L}_X {}^{(1)}\!Q - (\mathcal{L}_Y - \mathcal{L}_X^2)Q_0$ 로 구성한다.
• 이 형식을 적용하여 메트릭 섭동을 게이지 불변 성분 $\mathcal{L}_{ab}$ 와 $X^a$, $Y^a$ 를 포함한 게이지 변성 성분으로 분해한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 상대성 이론에서 제1종과 제2종 게이지 사이의 정확한 개념적 차이는 무엇인가?
• RQ2 두 개의 별개의 시공간이 존재하는 제2계 섭동 이론에서 게이지 자유도는 어떻게 일관되게 다룰 수 있는가?
• RQ3 제2종 게이지 선택의 변화에 따른 섭동의 일반적인 변환 법칙은 무엇인가?
• RQ4 임의의 텐서 장에 대해 제2계에서 게이지 불변 변수를 어떻게 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 제2계 메트릭 및 물질 장 섭동의 명시적 분해는 게이지 불변 및 게이지 변성 성분으로 어떻게 이루어지는가?

주요 결과

• 논문은 일반 상대성 이론이 좌표(제1종) 게이지와 점 식별(제2종) 게이지라는 두 가지 유형의 서로 다른 게이지 자유도를 포함하고 있음을 확립한다.
• 제2종 게이지 자유도는 섭동 이론에서 배경 시공간과 물리적 시공간 사이의 점 간 비유일한 식별에 기인한다.
• 다른 제2종 게이지 사이의 게이지 변환은 배경 시공간 $\mathcal{M}_0$ 상의 미분형사 $\Phi_\lambda$ 로 표현된다.
• 제1계 게이지 변환 법칙은 $^{(1)}_{\mathcal{Y}}Q - {}^{(1)}_{\mathcal{X}}Q = \mathcal{L}_{\xi_1} Q_0$ 이고, 제2계 법칙은 $^{(2)}_{\mathcal{Y}}Q - {}^{(2)}_{\mathcal{X}}Q = 2\mathcal{L}_X {}^{(1)}_{\mathcal{X}}Q + (\mathcal{L}_{Y} - \mathcal{L}_X^2)Q_0$ 이다.
• 임의의 장 $Q$ 에 대한 게이지 불변 변수는 $^{(1)}\!\mathcal{Q} = {}^{(1)}\!Q - \mathcal{L}_X Q_0$ 과 $^{(2)}\!\mathcal{Q} = {}^{(2)}\!Q - 2\mathcal{L}_X {}^{(1)}\!Q - (\mathcal{L}_Y - \mathcal{L}_X^2)Q_0$ 로 주어지며, 이는 물리적 관측량이 게이지 선택과 무관하게 유지됨을 보장한다.