[논문 리뷰] Gauge-Invariant Localization of Infinitely Many Gravitational Energies from all Possible Auxiliary Structures, Or, Why Pseudotensors are Okay

J. Brian Pitts|ArXiv.org|2009. 10. 17.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론에서 중력 에너지-운동량의 게이지-불변 국소화 문제를 해결한다. 모든 가능한 좌표계와 보조 구조(예: 평탄한 배경 메트릭스)를 통해 수집한 모든 가짜텐서형 에너지-운동량을 조합하여 구성된 무한성분의 공변 대상의 제안을 통해 이루어진다. 핵심 결과는 이 집합이 게이지-불변이며 아인슈타인 방정식과 동치라는 것이다. 따라서 가짜텐서는 개별적으로 보다는 집합적으로 이해할 때 물리적으로 의미 있는 것으로 입증된다.

ABSTRACT

The problem of finding a covariant expression for the distribution and conservation of gravitational energy-momentum dates to the 1910s. A suitably covariant infinite-component localization is displayed, reflecting Bergmann's realization that there are infinitely many conserved gravitational energy-momenta. Initially use is made of a flat background metric or connection (or rather, all of them), because the desired gauge invariance properties are obvious. Partial gauge-fixing then yields an appropriate covariant quantity without any background metric or connection; one version is the collection of pseudotensors of a given type, such as the Einstein pseudotensor, in_every_ coordinate system. This solution to the gauge covariance problem is easily adapted to any pseudotensorial expression or to any tensorial expression built with a background metric or connection. Thus the specific functional form can be chosen on technical grounds such as relating to Noether's theorem and yielding expected values of conserved quantities in certain contexts and then rendered covariant using the procedure described here. The application to angular momentum localization is straightforward. Traditional objections to pseudotensors are based largely on the false assumption that there is only one gravitational energy rather than infinitely many.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성 이론에서 중력 에너지-운동량의 게이지-불변 국소화를 달성하는 데 있어 오랫동안 남아있던 문제를 해결하는 것.
• 가짜텐서가 좌표에 따라 달라지므로 비물리적이라는 전통적 비판에 대응하여, 이러한 가짜텐서들의 집합이 게이지-불변임을 보여주는 것.
• 무한 개의 가짜텐서형 에너지-운동량이 함께 고려될 경우, 물리적으로 의미 있는 공변 보존 법칙을 도출할 수 있음을 보여주는 것.
• 예를 들어 평탄한 배경 메트릭스와 같은 보조 구조의 사용이, 모든 이러한 구조를 함께 포함할 경우 근본적인 문제로 되지 않는다는 것을 보여주는 것.
• 가짜텐서를 개별적으로 비물리적인 양으로 보는 것이 아니라, 더 넓은 물리적으로 일관된 무한성분의 공변 대상의 구성 요소로 이해함으로써 그 유효성을 입증하는 것.

제안 방법

• 모든 가능한 좌표계와 보조 구조(예: 평탄한 배경 메트릭스)를 통해 수집한 모든 가짜텐서형 에너지-운동량을 조합하여 게이지-불변이고 무한성분인 대상을 구성한다.
• 모든 가능한 배경 메트릭스(또는 접속, tetrad 등)의 집합은 개별 선택에 대한 변화에 대해 불변이므로, 이 원리를 통해 게이지 의존성을 제거한다.
• 개별 가짜텐서는 좌표에 따라 달라지지만, 모든 좌표에 걸친 전체 가짜텐서 집합은 좌표 변환에 대해 불변이라는 사실에 기반한다.
• 노이터 정리의 원리를 적용하여, 무한 개의 가짜텐서형 보존 법칙이 함께 모이면 아인슈타인 방정식을 함의한다는 것을 보여준다.
• 이 방법은 배경 구조를 포함한 모든 가짜텐서나 텐서 표현식에 일반화 가능하며, 물리적 또는 계산적 편의에 따라 기술적 선택(예: 아인슈타인 vs. 랑다-리프시츠 가짜텐서)을 할 수 있다.
• 역동량에 대해서도 유사한 무한성분 대상을 각 좌표계에서의 운동량 밀도를 조합하여 구성함으로써 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 상대성 이론에서 중력 에너지-운동량을 어떻게 국소화할 수 있을까? 이는 게이지-불변이면서 공변적이어야 한다.
• RQ2 기존에 좌표 의존성으로 인해 비물리적이라 비판받아 온 가짜텐서들이, 집합적으로 고려될 경우 왜 실제로 물리적으로 수용 가능한가?
• RQ3 무한 개의 중력 에너지-운동량을 하나의 물리적으로 의미 있는 공변 대상으로 통합할 수 있는가?
• RQ4 다양한 가짜텐서가 존재하는 것과 물리적 일관성과 불변성의 요구 사항을 어떻게 조화시킬 수 있는가?
• RQ5 가짜텐서들의 집합적 행동은 전체 아인슈타인 장 방정식과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 모든 좌표계에서의 모든 가짜텐서형 에너지-운동량의 집합은 게이지-불변이며, 무한성분이고 공변적인 대상이다.
• 이 무한성분 대상은 아인슈타인의 장 방정식과 동치이며, 이는 전체 집합이 함의하는 보존 법칙이 수학적으로 장 방정식과 동치라는 뜻이다.
• 예를 들어 평탄한 배경 메트릭스와 같은 보조 구조의 사용은, 모든 이러한 구조를 함께 포함할 경우 게이지 불변성을 해치지 않는다.
• 기존의 가짜텐서에 대한 비판(예: 좌표 의존성, 특정 좌표계에서의 영점화, 예를 들어 쇼링거의 경우)은 개별 가짜텐서가 최종적인 물리적 대상이 아니라 더 큰 불변 구조의 구성 요소이므로 해결된다.
• 이 방법은 에너지-운동량뿐만 아니라 운동량에도 적용되며, 각 좌표계에서의 운동량 밀도를 조합하여 유사한 무한성분 대상이 공변 보존 법칙을 만족한다.
• 이 접근법은 가짜텐서를 독립적인 비물리적 양으로 보는 것이 아니라, 더 넓은 불변이고 공변적인 프레임워크의 일부로 이해할 때 물리적으로 의미 있는 것으로 입증한다.