[논문 리뷰] Gauge Theory, Ramification, And The Geometric Langlands Program

Sergei Gukov, Edward Witten|ArXiv.org|2006. 12. 08.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 31인용 수 70

한 줄 요약

이 논문은 ${\cal N}=4$ 초양-미량 이론에서 표면 연산자를 도입하여 기하학적 롱랜즈 프로그램에 대한 게이지 이론 접근을 편의적 분岐를 포함하도록 확장한다. 이는 $S$-대칭이 그들의 매개변수에 어떻게 작용하는지 보여주며, 기하학적 롱랜즈 대응의 자연스러운 확장을 이끌어낸다. 주요 기여는 분기된 허긴(bundle)의 모듈리 공간의 코homology와 브레인에 대한 애피니티 웨일 군과 애피니티 브레이드 군 작용을 실현하는 것이다.

ABSTRACT

In the gauge theory approach to the geometric Langlands program, ramification can be described in terms of ``surface operators,'' which are supported on two-dimensional surfaces somewhat as Wilson or 't Hooft operators are supported on curves. We describe the relevant surface operators in N=4 super Yang-Mills theory, and the parameters they depend on, and analyze how S-duality acts on these parameters. Then, after compactifying on a Riemann surface, we show that the hypothesis of S-duality for surface operators leads to a natural extension of the geometric Langlands program for the case of tame ramification. The construction involves an action of the affine Weyl group on the cohomology of the moduli space of Higgs bundles with ramification, and an action of the affine braid group on A-branes or B-branes on this space.

연구 동기 및 목표

• 기하학적 롱랜즈 프로그램의 게이지 이론 공식화를 편의적 분岐를 포함하도록 확장하기.
• 기하학적 롱랜즈 프로그램의 분기와 대응하는 고유한 특이성을 가진 ${\cal N}=4$ 초양-미량 이론에서의 표면 연산자를 정의하고 특성화하기.
• $S$-대칭이 이러한 표면 연산자의 매개변수에 어떻게 작용하는지 분석하기.
• 리만 곡면 위에서의 콪actification을 통해 이러한 게이지 이론 자료와 분기된 경우의 기하학적 롱랜즈 대응 사이의 대응 관계를 확립하기.
• 분기된 허긴(bundle)의 모듈리 공간의 코homology와 브레인에 대한 애피니티 웨일 군과 애피니티 브레이드 군 작용을 식별하기.

제안 방법

• 특정한 특이성을 가진 고유한 특이성으로서, 윌슨과 '트 훗프' 연산자와 유사한 차원 두 개가 낮은 결함으로서 ${\cal N}=4$ 초양-미량 이론에서 표면 연산자를 도입하기.
• 전기 플럭스, 자기 플럭스, 단일 회전 데이터에 대응하는 $(\alpha, \beta, \gamma, \eta)$로 이러한 표면 연산자를 매개변수화하기.
• 이 매개변수들에 대한 $S$-대칭 작용을 제안하며, 비분기된 경우에 알려진 대칭의 일반화를 제공하기.
• 4차원 이론을 리만 곡면 $\Sigma$ 위에서 콤팩트화하여, 분기된 허긴(bundle)의 하이퍼-카일러 모듈리 공간을 타겟으로 하는 2차원 시그마 모델로 감소시키기.
• 분기된 허긴(bundle)의 모듈리 공간의 코homology를 분석하고 애피니티 웨일 군 작용을 식별하기.
• 이를 $A$-브레인과 $B$-브레인의 유도 범주에서의 애피니티 브레이드 군 작용으로 확장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 롱랜즈 프로그램에서의 분기는 게이지 이론 연산자로서 어떻게 실현될 수 있는가?
• RQ2 표면 연산자의 정확한 형태는 무엇인가? 이는 ${\cal N}=4$ SYM에서 편의적 분기를 기술한다.
• RQ3 $S$-대칭은 이러한 표면 연산자의 매개변수에 어떻게 작용하는가?
• RQ4 애피니티 웨일 군과 애피니티 브레이드 군은 분기된 허긴(bundle)의 모듈리 공간의 코homology와 브레인의 구조에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 ${\cal N}=4$ SYM 이론이 리만 곡면 위에서 콤팩트화될 때, 분기를 포함한 확장된 기하학적 롱랜즈 대응은 어떻게 실현되는가?

주요 결과

• ${\cal N}=4$ SYM에서의 표면 연산자는 기하학적 롱랜즈 프로그램에서의 편의적 분기를 게이지 이론적으로 실현한다.
• 이 표면 연산자의 매개변수—$(\alpha, \beta, \gamma, \eta)$—는 비분기된 경우에 알려진 대칭의 일반화를 통해 $S$-대칭에 의해 변환된다.
• 분기된 허긴(bundle)의 모듈리 공간의 코homology는 특이성을 가진 히친 시스템의 기하학으로부터 기인한 애피니티 웨일 군 작용을 지닌다.
• 분기된 허긴(bundle)의 모듈리 공간의 유도 범주에는 $A$-브레인과 $B$-브레인에 대한 애피니티 브레이드 군 작용이 존재하며, 이는 기하학적 롱랜즈 대응을 확장한다.
• $G_2$와 $F_4$의 경우, 군과 그 이중군 사이의 $S$-대칭 이sovomorphism은 $R$라는 회전 및 스케일링 사상에 의해 실현되며, 이는 대칭 작용에 통합된다.
• 이 구성은 비분기된 경우에 비해 편의적 분기를 포함한 기하학적 롱랜즈 대응의 자연스러운 확장을 이끌어내며, 베즈루카비니크의 애피니티 브레이드 군에 관한 연구와 같은 수학적 발전과 일치한다.