[논문 리뷰] Gauging modulated symmetries: Kramers-Wannier dualities and non-invertible reflections

Salvatore D. Pace, Guilherme Delfino외 2명|arXiv (Cornell University)|2024. 06. 18.

Molecular spectroscopy and chirality인용 수 6

한 줄 요약

논문은 1+1D 스핀 체인에서 유한 아벨 모듈레이티드 대칭의 게이징을 연구하고, 반사에 의해 구현되는 이중성을 도출하며, 순차 양자 회로를 통해 비가역적 반사 연산자를 구성한다.

ABSTRACT

Modulated symmetries are internal symmetries that act in a non-uniform, spatially modulated way and are generalizations of, for example, dipole symmetries. In this paper, we systematically study the gauging of finite Abelian modulated symmetries in ${1+1}$ dimensions. Working with local Hamiltonians of spin chains, we explore the dual symmetries after gauging and their potential new spatial modulations. We establish sufficient conditions for the existence of an isomorphism between the modulated symmetries and their dual, naturally implemented by lattice reflections. For instance, in systems of prime qudits, translation invariance guarantees this isomorphism. For non-prime qudits, we show using techniques from ring theory that this isomorphism can also exist, although it is not guaranteed by lattice translation symmetry alone. From this isomorphism, we identify new Kramers-Wannier dualities and construct related non-invertible reflection symmetry operators using sequential quantum circuits. Notably, this non-invertible reflection symmetry exists even when the system lacks ordinary reflection symmetry. Throughout the paper, we illustrate these results using various simple toy models.

연구 동기 및 목표

• 1+1차원에서 유한 아벨 모듈레이티드 대칭의 게이징 특성을 규명한다.
• 게이징 이후 이중 대칭 구조와 가능한 새로운 공간 변조를 이해한다.
• 격자 반사를 통해 원래의 모듈레이티드 대칭과 이중 대칭 간의 동형성 조건을 식별한다.
• 이 설정에서 Kramers-Wannier 이중성과 비가역적 반사 연산자를 구성한다.
• 명시적 토이 모델과 예제를 통해 프레임워크를 설명한다.

제안 방법

• 모듈레이티드 대칭을 호모모피에 의한 공간 작용과의 반직접곱으로 정의한다.
• 결합 대수를 사용하여 국소 대칭 연산자 구조를 기술하고 Gauss의 법칙 게이징 매핑을 도출한다.
• 쌍대 이중성 생성자 U^vee를 링크 연산자의 곱으로 보여주고 이를 반사된 원래들과 관련시킨다.
• broad 조건하에서 반사 M에 의해 구현되는 동형 B ≃ M B^vee M^{-1}를 증명한다.
• 대표적인 모델에서 순차 양자 회로를 통해 KW 이중성 연산자 D_M와 D_KW를 구성한다.
• Z_N dipole, quadrupole, 및 multipole 대칭에 대한 일반적인 자기-이중성 분석을 개발한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1+1D에서 유한 아벨 모듈레이티드 대칭의 게이징 시 이중 대칭과 그 공간 변조의 구조는 무엇인가?
• RQ2 격자 반사에 의해 원래의 결합 대수(B)와 이중 결합 대수 사이에 정형적인 동형이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 Kramers-Wannier 이중성이 모듈레이티드 대칭 시스템에서 비가역적 반사 대칭으로 어떻게 나타나는가?
• RQ4 Dipole, quadrupole, 그리고 지수 모듈레이티드 대칭과 같은 명시적 토이 모델에서 자기-이중성 게이징과 비가역적 반사를 구현할 수 있는가?
• RQ5 소수 아닌 N 케이스로 게이징을 확장하는 데 링 이론 기법의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 소수 p에 대해 지수 모듈레이티드 Z_p 대칭의 게이징 후의 이중 대칭은 역수 지수 a^{-1} = a^{p-2}를 갖는 지수적으로 유지된다.
• 반사에 의해 구현되는 원래의 결합 대수와 이중 결합 대수 사이의 정형적 동형이 존재하며, 반사 대칭이 존재하면 자기-이중성을 얻는다.
• 공간 작용 varphi가 두 경우에서 서로 다르면 이중 모듈레이티드 대칭은 일반적으로 원래 것과 동형이 아니며 새로운 변조로 이어진다.
• 비가역적 반사 연산자 D_M을 구성할 수 있으며, 융합 규칙 D_M^2가 투사기에 비례하고 자기-이중점에서 KW형 이중성을 생성한다.
• 순차 게이징은 비소수 N 모듈레이티드 대칭의 게이징을 소수 경우와 유사한 결합 대수 형태를 보존하는 단계별 프로세스를 통해 구현할 수 있다.
• 이 프레임워크는 명시적인 비가역적 KW 연산자 D_KW를 산출하고 Z_N dipole 및 지수 대칭 모델에서 이들의 작용을 보여준다.