[논문 리뷰] Gaussian Approximation for High Dimensional Time Series

Danna Zhang, Wei Biao Wu|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 27.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 28인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 기능적 의존도 측정을 활용하여 고차원 정적 시간열에 대한 가우시안 근사법을 수립함으로써, 약한 의존성과 발산하는 차원 조건 하에서 평균 벡터에 대한 타당한 동시 추론을 가능하게 한다. 주요 기여는 정규화된 표본 평균과 가우시안 벡터 사이의 초상거리를 비점근적 경계로 제시하는 것으로, 일반적인 모멘트 및 의존성 조건 하에서 신뢰구간 및 부트스트랩 방법에의 응용이 가능하다.

ABSTRACT

We consider the problem of approximating sums of high-dimensional stationary time series by Gaussian vectors, using the framework of functional dependence measure. The validity of the Gaussian approximation depends on the sample size $n$, the dimension $p$, the moment condition and the dependence of the underlying processes. We also consider an estimator for long-run covariance matrices and study its convergence properties. Our results allow constructing simultaneous confidence intervals for mean vectors of high-dimensional time series with asymptotically correct coverage probabilities. A Gaussian multiplier bootstrap method is proposed. A simulation study indicates the quality of Gaussian approximation with different $n$, $p$ under different moment and dependence conditions.

연구 동기 및 목표

• 표본 크기 $ n $ 와 차원 $ p $ 가 모두 발산할 때 고차원 정적 시간열의 정규화된 표본 평균 벡터에 대한 가우시안 근사법을 개발하기 위해.
• $ p \to \infty $ 인 고차원 설정으로 중심극한정리 이론을 확장하여, $ \sqrt{n} = o(p) $ 조건 하에서 고전적 CLT의 실패를 극복하기 위해.
• 정규화된 표본 평균 벡터의 초상거리가 가우시안 벡터의 초상거리에 분포 수렴하는 조건을 수립하기 위해.
• 약한 의존성 하에서 장기 공분산 행렬의 일致적인 추정량을 제공하여 실용적 추론을 가능하게 하기 위해.
• 고차원 시간열에서 동시 신뢰구간에 대해 渐近적으로 정확한 커버리지 확보가 가능한 가우시안 스텝퍼 부트스트랩 방법을 개발하기 위해.

제안 방법

• 고차원 시간열의 의존성 구조를 측정하기 위해 기능적 의존도 측정 프레임워크를 활용하여 약한 의존성도 수용 가능하게 한다.
• 결합 및 꼬리 확률 부등식을 통해 정규화된 표본 평균과 가우시안 벡터 사이의 초상거리에 대한 비점근적 경계를 수립한다.
• 의존적인 과정의 이차형식에 대해 대규모 이탈 경계를 도출한 배치 평균 추정량을 장기 공분산 행렬 $ \Sigma $ 에 대해 도입한다.
• 장기 공분산 행렬의 추정치를 기반으로 가우시안 스텝퍼 부트스트랩을 적용하여 渐近적으로 정확한 커버리지가 보장되는 동시 신뢰구간을 구성한다.
• 의존성 제어를 위해 $ Y_{m} $-근사법을 통한 절단 및 사영 기법을 활용하며, 오차 경계는 $ m $, $ w $, $ n $ 에 따라 달라진다.
• 수렴 조건을 도출하기 위해 $ n $, $ p $, 모멘트 조건 ($ \|X_{ij}\|_q < \infty $), 그리고 의존성 매개변수 ($ \Psi_{2,\alpha} $, $ \Phi_{\psi_\nu,\alpha} $) 를 고려한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원 정적 시간열의 정규화된 표본 평균 벡터가 초상거리에서 어떤 조건 하에 가우시안 벡터로 수렴하는가?
• RQ2 약한 의존성 조건 하에서 고차원 시간열의 장기 공분산 행렬을 어떻게 일관적으로 추정할 수 있는가?
• RQ3 가우시안 근사법이 성립하기 위한 $ n $, $ p $, 모멘트 조건, 그리고 의존성 구조에 대한 충분한 조건는 무엇인가?
• RQ4 고차원 시간열에서 동시 추론을 위한 가우시안 스텝퍼 부트스트랩 방법을 渐近적으로 정확한 커버리지로 구성할 수 있는가?
• RQ5 가우시안 근사의 수렴 속도는 과정의 의존성 강도와 꼬리 행동에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 정규화된 표본 평균과 가우시안 벡터 사이의 초상거리가 0으로 수렴하기 위해 조건 $ \max(L_1, L_2) \max(W_1, W_2) = o(1) \min(n, N_1, N_2) $ 가 성립할 경우 가우시안 근사법이 성립한다.
• $ \alpha > 1/2 - 1/q $ 인 경우 오차 경계는 $ \lesssim f^*(\sqrt{n}\eta) + \eta\sqrt{\log p} + h(\lambda, u_m^*(\lambda)) + \pi(\Psi_{2,\alpha}\Psi_{2,0}(m^{-\alpha} + v(M)) + wm/n) $ 로 유계이며, 적절한 $ m $ 및 $ w $ 선택 조건 하에서 0으로 수렴한다.
• 약한 모멘트 및 의존성 조건 하에서 장기 공분산 행렬의 배치 평균 추정량은 일관성이 있으며, 이차형식에 대해 대규모 이탈 경계가 도출된다.
• 추정된 장기 공분산 행렬을 기반으로 한 가우시안 스텝퍼 부트스트랩 방법은 동시 신뢰구간에 대해 渐近적으로 정확한 커버리지가 보장된다.
• 오차 경계는 $ m \gg \max(L_1, (\Psi_{2,\alpha} \log p)^{1/\alpha}) $, $ wm \ll \min(N_1, N_2) $, $ w \gg \max(W_1, W_2) $ 일 때 감소하며, $ N_2 \lesssim n(\log p)^{-2} $ 를 만족한다.
• $ \alpha < 1/2 - 1/q $ 인 경우 경계는 $ f^\diamond $ 와 $ u_m^\diamond $ 로 대체되며, $ \Theta_{q,\alpha}(\log p)^{1/2} = o(n^\alpha) $ 를 만족해야 하며, 조건 (12) 하에서 결과가 성립한다.