[논문 리뷰] Gaussian Matrix Product States

Norbert Schuch, Michael M. Wolf외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 18.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 차원의 MPS와 유사한 가우시안 얽힘 기반 구성 방식을 사용하여 조화 진동자 격자로 일반화된 가우시안 매트릭스 곱 상태(GMPS)를 도입한다. 모든 1차원 순수 GMPS가 지수적으로 감쇠하는 상관관계를 가지며, 국소적 2차 해밀토니안의 기저 상태임을 증명한다. 상관관계 길이는 단위 원 내부에 있는 푸리에 변환된 공분산 행렬의 극점에 의해 결정된다.

ABSTRACT

We introduce Gaussian Matrix Product States (GMPS), a generalization of Matrix Product States (MPS) to lattices of harmonic oscillators. Our definition resembles the interpretation of MPS in terms of projected maximally entangled pairs, starting from which we derive several properties of GMPS, often in close analogy to the finite dimensional case: We show how to approximate arbitrary Gaussian states by MPS, we discuss how the entanglement in the bonds can be bounded, we demonstrate how the correlation functions can be computed from the GMPS representation, and that they decay exponentially in one dimension, and finally relate GMPS and ground states of local Hamiltonians.

연구 동기 및 목표

• 유한 차원 스핀에서의 매트릭스 곱 상태(MPS)를 연속 변수 시스템인 조화 진동자로 일반화한다.
• 유한 차원 MPS의 얽힘 기반 구성 방식을 유지하는 가우시안 MPS 프레임워크를 개발한다.
• 1차원 시스템에서의 가우시안 MPS의 상관 구조와 얽힘 성질을 규명한다.
• GMPS와 국소적 2차 해밀토니안의 기저 상태 사이의 대응 관계를 수립한다.
• 무한 체인에서 가우시안 상태의 효율적 변분 시뮬레이션을 위해 일정한 수의 매개변수로 파arameter화할 수 있도록 한다.

제안 방법

• 최대로 얽힌 보존 모드 쌍에 작용하는 선형 사상으로 GMPS를 정의함으로써, 연속 변수로의 MPS 구성 방식을 일반화한다.
• GMPS의 공분산 행렬을 푸리에 공간에서 코사인 함수의 유리 함수로 표현하며, 코사인(ϕ)에 대한 다항식의 비율로 요소를 기술한다.
• 잔여물의 미적분을 사용하여 푸리에 표현식에서 실공간의 두 점 상관 함수를 계산한다.
• 복소 평면에서 유리 함수의 극점 위치를 분석함으로써 상관관계 길이를 유도하며, 특히 단위 원 내부에 있는 가장 큰 극점에 초점을 맞춘다.
• 해밀토니안의 푸리에 변환과 상태의 공분산 행렬 간의 역관계를 역행함으로써, 주어진 GMPS가 기저 상태가 되는 국소적 2차 해밀토니안을 구성한다.
• 국소적 해밀토니안이 GMPS를 기저 상태로 가지는 것은 그 해밀토니안 행렬의 행렬식이 cos(ϕ)에 대한 다항식의 제곱이 되는 것과 필요충분조건임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매트릭스 곱 상태(MPS)는 스핀의 유한 차원 시스템을 넘어서 조화 진동자 시스템으로 일반화될 수 있는가? 이 과정에서 얽힘 구조와 효율적 계산 등의 핵심 성질은 유지되는가?
• RQ2 1차원 가우시안 매트릭스 곱 상태(GMPS)에서 두 점 상관 함수는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 가우시안 MPS에서 상관관계 길이는 무엇에 의해 결정되며, 이를 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 가우시안 MPS가 국소적 2차 해밀토니안의 정확한 기저 상태가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 역사적 대칭성을 가진 가우시안 상태는 열역학적 한계에서 일정한 수의 매개변수로 GMPS로 효율적으로 파arameter화할 수 있는가?

주요 결과

• 1차원 조화 진동자 체인에서의 모든 순수 이동 대칭성 가우시안 상태는 정확히 가우시안 매트릭스 곱 상태(GMPS)로 표현 가능하다.
• 1차원 GMPS에서의 두 점 상관 함수는 거리에 따라 지수적으로 감쇠하며, 상관관계 길이는 푸리에 변환된 공분산 행렬의 주요 극점이 단위 원 내부에 위치한 점에 의해 결정된다.
• 상관관계 길이는 단위 원 내부에 있는 분모 다항식 d(z)의 가장 큰 영점의 크기의 역로그로 명시적으로 주어진다.
• 모든 GMPS는 국소적 2차 해밀토니안의 정확한 기저 상태이며, 이의 상호작용 범위는 유리 함수 표현에서의 다항식의 차수에 의해 제한된다.
• 국소적 해밀토니안이 GMPS를 기저 상태로 가지는 것은 그 해밀토니안 행렬의 행렬식이 cos(ϕ)에 대한 다른 다항식의 제곱이 되는 것과 필요충분조건이며, 이는 해밀토니안에 비트리비얼한 대수적 조건을 부과한다.
• 이 프레임워크는 무한 체인 극한에서도 이동 대칭성 가우시안 상태를 일정한 수의 매개변수로 기술할 수 있게 하여 효율적 변분 최적화를 가능하게 한다.