[논문 리뷰] Gaussian Process and Levy Walk under Stochastic Non-instantaneous Resetting and Stochastic Rest

Tian Zhou, Pengbo Xu외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 25.

Diffusion and Search Dynamics참고 문헌 50인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 이동, 비순간적 복귀(반환), 휴식의 세 단계로 구성된 확률적 과정을 연구한다. 입자는 이동 단계에서 브라운 운동 또는 궤도 레비 산책 역학을 따르며, 다양한 복귀 메커니즘(일정 속도, 가속도, 힘의 진동자)과 확률적 휴식 시간 하에서 점차적 평균 제곱 이동(이동) 행동과 정적 분포를 도출한다. 복귀로 인해 과정이 국소화되고 운반 특성이 변화함을 보이며, 브라운 운동의 경우 첫 번째 통과 시간에 대한 정확한 결과를 도출한다.

ABSTRACT

A stochastic process with movement, return, and rest phases is considered in this paper. For the movement phase, the particles move following the dynamics of Gaussian process or ballistic type of L\'evy walk, and the time of each movement is random. For the return phase, the particles will move back to the origin with a constant velocity or acceleration or under the action of a harmonic force after each movement, so that this phase can also be treated as a non-instantaneous resetting. After each return, a rest with a random time at the origin follows. The asymptotic behaviors of the mean squared displacements with different kinds of movement dynamics, random resting time, and returning are discussed. The stationary distributions are also considered when the process is localized. Besides, the mean first passage time is considered when the dynamic of movement phase is Brownian motion.

연구 동기 및 목표

• 이동, 비순간적 복귀, 확률적 휴식을 포함하는 세 단계의 확률적 과정을 모델링하기 위해.
• 다양한 복귀 역학(일정 속도, 가속도, 힘의 진동자) 하에서 점차적 평균 제곱 이동(MSD)의 점근적 행동을 분석하기 위해.
• 과정이 국소화될 경우 정적 분포를 유도하기 위해.
• 브라운 운동의 경우 확률적 복귀에 대해 평균 첫 번째 통과 시간(MFPT)을 계산하기 위해.
• 유한한 시간 복귀 및 휴식 단계를 포함하여 이전의 순간적 복귀 연구를 확장하기 위해.

제안 방법

• 이동(정규 또는 레비 산책), 복귀(일정 속도, 가속도 또는 힘의 진동자로 비순간적), 휴식(확률적 지속 시간)의 세 단계로 구성된 확률적 모델을 제안한다.
• 이동 단계의 전파 함수 h(x,t)와 복귀 함수 R(τ; Mηi)를 사용하여 복귀 기간 동안의 위치 변화를 모델링한다.
• 이동 시간 ψm(η), 복귀 시간 ρi, 휴식 시간 φr(ξ)의 확률밀도함수를 포함하는 적분 방정식을 통해 각 단계의 결합 확률밀도함수를 도출한다.
• 작은 s에 대한 라플라스 변환과 점근적 분석을 사용하여 MSD 및 MFPT의 장기적 행동을 유도한다.
• 궤도 레비 산책의 경우 장기적 근사 밀도 분석을 위해 라멘티 분포를 활용한다.
• 구형 초기함수와 적분 표현을 사용하여 정적 및 첫 번째 통과 통계를 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비순간적 복귀는 가우시안 및 레비 산책 역학에서 장기적 평균 제곱 이동(MSD)에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 복귀로 인해 시스템이 국소화될 경우 과정의 정적 분포는 무엇인가?
• RQ3 다양한 복귀 메커니즘(일정 속도, 가속도, 힘의 진동자)은 점근적 MSD 및 첫 번째 통과 시간에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 확률적 휴식 시간은 전체 운반 특성과 국소화에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 비순간적 복귀가 있는 확률적 복귀 하에서 목표 지점으로의 첫 번째 통과 시간은 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• MSD는 복귀 메커니즘과 휴식 시간 통계에 따라 궤도적(⟨x²⟩∼t²)에서 확산적(⟨x²⟩∼t) 행동으로의 전이를 보인다.
• 확률적 복귀가 있는 브라운 운동의 경우, 평균 첫 번째 통과 시간(MFPT)은 유한하며, 라플라스 변환과 점근적 분석을 통해 정확히 유도된다.
• 과정이 국소화될 경우 정적 분포가 존재하며, 비정규 분포이며, 복귀 메커니즘과 휴식 시간 분포에 따라 형태가 달라진다.
• 궤도 레비 산책은 비순간적 복귀 하에서 라멘티 분포를 따르며, 장기적 행동의 정확한 분석이 가능하다.
• 복귀로 인해 시스템은 국소화되며, 특히 힘의 진동자와 같은 빠른 복귀 메커니즘일수록 국소화 효과가 더 뚜렷하다.
• 첫 번째 통과 시간 분포의 점근적 행동은 라플라스 공간에서 유도되었으며, 복귀 함수와 휴식 시간 PDF에 의존함을 보였다.