[논문 리뷰] Gaussian random permutation and the boson point process

Inés Armendáriz, Pablo A. Ferrari외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 26.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 ℝᵈ 위에 무한체적 가우시안 랜덤 치환을 구성하며, 점 구성과 치환은 제곱 이동에 기반한 해밀토니안에 의해 지배된다. 임계 밀도 ρ ≤ ρ_c일 경우 포아송 가우시안 루프 슈프와 임계 밀도 ρ > ρ_c일 경우 독립적인 가우시안 무작위 교차(Interlacement)를 조합함으로써, 파울리의 자유 보스 가스에 대한 파인만 표현과의 엄밀한 연결을 확립하는 길드 측도를 도출한다.

ABSTRACT

We construct an infinite volume spatial random permutation $(\mathsf X,\sigma)$, where $\mathsf X\subset\mathbb R^d$ is locally finite and $\sigma:\mathsf X o \mathsf X$ is a permutation, associated to the formal Hamiltonian $$ H(\mathsf X,\sigma) = \sum_{x\in \mathsf X} \|x-\sigma(x)\|^2. $$ The measures are parametrized by the point density $ ho$ and the temperature $\alpha$. Spatial random permutations are naturally related to boson systems through a representation originally due to Feynman (1953). Let $ ho_c= ho_c(\alpha)$ be the critical density for Bose-Einstein condensation in Feynman's representation. Each finite cycle of $\sigma$ induces a loop of points of~$\mathsf X$. For $ ho\le ho_c$ we define $(\mathsf X, \sigma)$ as a Poisson process of finite unrooted loops of a random walk with Gaussian increments that we call Gaussian loop soup, analogous to the Brownian loop soup of Lawler and Werner (2004). We also construct Gaussian random interlacements, a Poisson process of doubly infinite trajectories of random walks with Gaussian increments analogous to the Brownian random interlacements of Sznitman (2010). For $d\ge 3$ and $ ho> ho_c$ we define $(\mathsf X,\sigma)$ as the superposition of independent realizations of the Gaussian loop soup at density $ ho_c$ and the Gaussian random interlacements at density $ ho- ho_c$. In either case we call $(\mathsf X, \sigma)$ a Gaussian random permutation at density $ ho$ and temperature $\alpha$. The resulting measure satisfies a Markov property and it is Gibbs for the Hamiltonian $H$. Its point marginal $\mathsf X$ has the same distribution as the boson point process introduced by Shirai-Takahashi (2003) in the subcritical case, and by Tamura-Ito (2007) in the supercritical case.

연구 동기 및 목표

• ℝᵈ 위에 점 밀도 ρ와 온도 α를 갖는 이동 불변의 무한체적 공간 랜덤 치환 (X, σ)을 구성하는 것.
• 자유 보스 가스에 대한 파인만 표현을 통해 공간 랜덤 치환과 보스 점 프로세스 사이의 연결 고리를 확립하는 것.
• 임계 밀도 ρ_c(α) 이하인지 초과인지에 따라 다를 두 가지 과정—가우시안 루프 슈프와 가우시안 무작위 교차—를 정의하고 분석하는 것.
• 구성된 랜덤 치환의 점 마진 X가 시라이-타카하시(2003)와 타무라-이토(2007)에 의해 정의된 보스 점 프로세스와 동일한 분포를 가짐을 증명하는 것.

제안 방법

• 해밀토니안 H(X, σ) = ∑_{x∈X} ‖x − σ(x)‖² 를 정의하여 공간 치환의 에너지를 지배하는 것으로 사용한다.
• Radon-Nikodym 밀도를 σ에 의해 유도된 루프들에 대한 곱으로 분해함으로써, 루프 기반의 구성이 가능하도록 한다.
• 가우시안 증분을 갖는 루프의 포아송 과정으로서, 브라운 운동 루프 슈프와 유사한 가우시안 루프 슈프를 구성한다.
• ρ > ρ_c일 경우, 밀도 ρ_c에서의 루프 슈프와 밀도 ρ − ρ_c에서의 독립적인 가우시안 무작위 교차를 초월하여 수월하게 구성한다.
• 라플라스 함수 및 상관 함수를 사용하여 결과로 얻어진 점 프로세스를 특성화하고 기존의 보스 점 프로세스와 비교한다.
• Lenard의 정리와 Campbell의 공식을 활용하여, 랜덤 치환의 점 마진이 보스 점 프로세스와 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 점 밀도 ρ와 온도 α를 갖는 무한체적 공간 랜덤 치환에 대한 길드 측도를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 임계 밀도 이하(ρ ≤ ρ_c)와 초과(ρ > ρ_c)의 두 영역에서 가우시안 랜덤 치환과 보스 점 프로세스 사이의 관계는 어떠한가?
• RQ3 루프 슈프와 무작위 교차 성분은 각기 다른 밀도 영역에서 치환의 구조에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 가우시안 랜덤 치환의 점 마진이 시라이-타카하시 및 타무라-이토에 의해 정의된 보스 점 프로세스와 일치함을 어떻게 보일 수 있는가?
• RQ5 임계 밀도 ρ_c(α)는 루프 지배 및 교차 지배 행동 간의 상전이를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• ρ > ρ_c일 경우, 밀도 ρ_c에서의 가우시안 루프 슈프와 밀도 ρ − ρ_c에서의 가우시안 무작위 교차를 초월하여 구성된 가우시안 랜덤 치환 (X, σ)이 존재하며, ρ ≤ ρ_c일 경우 루프 슈프만 존재한다.
• 결과로 얻어진 측도는 해밀토니안 H(X, σ) = ∑_{x∈X} ‖x − σ(x)‖² 에 대해 길드 측도이며, 점 밀도 ρ를 갖는 이동 불변 측도이다.
• 점 마진 X는 시라이-타카하시(2003)에 의해 정의된 νρ = ν_boson_ρ 와 동일한 분포를 가지며, ρ ≤ ρ_c일 경우와 타무라-이토(2007)에 의해 정의된 νρ = ν_boson_ρ 와 동일한 분포를 가진다.
• d ≥ 3 이고 ρ > ρ_c일 경우, 초임계 보스 점 프로세스 ν_boson_ρ 는 강도 ½(Φ₁ + √(2(ρ − ρ_c)))² + ½Ψ₁² 인 코크스 프로세스이며, 여기서 Φ₁과 Ψ₁은 공분산 K₁을 갖는 독립적인 중심 가우시안 장이다.
• 가우시안 루프 슈프의 n점 상관 함수는 보스 점 프로세스 ν_ST_λ 와 일치하며, Lenard의 정리에 의해 이는 기저 점 프로세스의 동치를 의미한다.
• 초임계 프로세스 ν_boson_ρ 의 라플라스 함수는 수월한 ν_ST_1 ∗ ν_TI_ρ−ρ_c 와 일치함을 확인하여, 측도 간의 동치성을 확인한다.