[논문 리뷰] Gelfand and Kolmogorov numbers of Sobolev embeddings of weighted function spaces II

Shun Zhang, Fang Gensun외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 27.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 30인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 가중치가 다항식인 가중 Besov 및 Triebel-Lizorkin 공간 간의 Sobolev 포함에 대한 Gelfand 수와 Kolmogorov 수에 대해 날카운 점근적 추정을 수립한다. 이는 이전의 바나흐 공간 설정에서의 결과를 비바나흐 공간 설정($0 < p, q \leq \infty$)으로 확장하며, Skrzypczak(2005)가 해결하지 못한 근사 수의 점근적 추정에 대한 열린 사례를 해결한다. 매끄러움, 적분 가능성 및 가중치 매개변수에 따라 정확한 순서를 제공한다.

ABSTRACT

We consider the Gelfand and Kolmogorov numbers of compact embeddings between weighted function spaces of Besov and Triebel-Lizorkin type with polynomial weights in the non-limiting case. Our main purpose here is to complement our previous results in \cite{ZF10} in the context of the quasi-Banach setting, $0 &lt; p, q \le \infty$. In addition, sharp estimates for their approximation numbers in several cases left open in Skrzypczak (JAT, 2005) are provided.

연구 동기 및 목표

• 이전의 Sobolev 포함에 대한 Gelfand 수와 Kolmogorov 수 결과를 바나흐 공간 설정($1 \leq p, q \leq \infty$)에서 비바나흐 공간 설정($0 < p, q \leq \infty$)으로 확장한다.
• 비한정적 경우에 대한 Sobolev 포함의 근사 수 점근적 추정에서의 격차를 메운다. 특히 Skrzypczak(2005)에서 열려 있던 사례를 해결한다.
• 다항식 가중치를 가진 가중 함수 공간에서 s-수(Gelfand, Kolmogorov, 근사 수)에 대한 날카운 정확한 순서 점근적 추정을 제공한다.
• 웨이블릿 특성화와 노름 추정을 활용하여 비바나흐 맥락에서 이산화 기법과 연산자 이상 이론을 적용한다.

제안 방법

• 이전 연구 [32]에서 유도된 이산화 기법을 활용하며, 가중 Besov 및 Triebel-Lizorkin 공간의 웨이블릿 특성화를 통해 비바나흐 경우로 확장한다.
• 연산자 이상 이론과 s-수 추정을 적용하여, 이상 노름을 통한 Gelfand 수와 Kolmogorov 수의 추정을 수행한다. Carl [2] 및 Pietsch [21,22]의 기법을 참조한다.
• 유한 차원 $\varepsilon$-넷에서 항등 연산자의 근사 수에 대한 추정을 활용하며, 특히 Foucart 등 [6]과 Vybíral [31]의 유클리드 구에 대한 결과를 적용한다.
• 다양한 매개변수 영역에서 포함 연산자의 행동을 분석함으로써 s-수의 상한과 하한을 유도한다. 이는 $p_1 < 2 < p_2$ 및 다양한 가중치 매개변수를 포함한 경우를 포함한다.
• Kolmogorov 수와 Gelfand 수 간의 쌍대성 관계($c_n(T^*) = d_n(T)$)를 활용하여 이중 포함에 대한 추정을 연결한다.
• 지수 $\mu = \min(\alpha, \delta)$와 임계 지수 $\tilde{p}^{-1} = \frac{\mu}{d} + p_1^{-1}$를 이용한 정밀한 매개변수 의존 스케일링을 통해 점근적 영역을 분류한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비바나흐 경우에서 다항식 가중치를 가진 가중 Besov 및 Triebel-Lizorkin 공간 간 Sobolev 포함에 대해 Gelfand 수와 Kolmogorov 수의 날카운 점근적 순서는 무엇인가?
• RQ2 매개변수 $p_1, p_2$가 임계 값 2를 둘러싸는 경우, 또는 $p_1 < 2 < p_2$인 경우, 이러한 포함에 대해 근사 수는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 Gelfand 수, Kolmogorov 수, 근사 수가 동일한 점근적 감쇠 속도를 보이는 매개변수 영역는 어디인가?
• RQ4 바나흐 경우에서 사용된 이산화 및 연산자 이상 기법을 비바나흐 경우($0 < p, q \leq \infty$)로 확장하여 날카운 추정을 도출할 수 있는가?
• RQ5 Skrzypczak(2005)에서 열려 있던 근사 수의 경우, 특히 $p_1 < 2 < p_2$ 및 $\min(\alpha, \delta) \neq \frac{d}{p_2}$일 때의 정확한 점근적 순서는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $0 < p_1 \leq p_2 \leq 2$ 또는 $2 \leq p_1 \leq p_2 \leq \infty$인 경우, $n$번째 근사 수는 $a_n \sim n^{-\mu/d}$를 만족하며, 여기서 $\mu = \min(\alpha, \delta)$이다.
• $\tilde{p} < p_2 < p_1 \leq \infty$인 경우, 근사 수는 $a_n \sim n^{-\mu/d - 1/p_1 + 1/p_2}$로 감쇠하며, 이는 적분 가능성과 매끄러움의 상호작용을 반영한다.
• $0 < p_1 < 2 < p_2 \leq \infty$인 영역에서는, $\mu < d/t$이면 $a_n \sim n^{-\mu/d \cdot t/2}$이며, $\mu > d/t$이면 $a_n \sim n^{-\mu/d - 1/2 + 1/t}$로 감쇠한다. 여기서 $t = \min(p_1', p_2)$이다.
• $\tilde{p} < p_2 \leq p_1 \leq \infty$인 경우, 비임계 가중치 조건 하에서 Gelfand 수와 Kolmogorov 수는 점근적으로 동치($c_n \sim d_n$)임을 보였다.
• $2 \leq p_1 < p_2 \leq \infty$이거나, $\min(\alpha, \delta) \neq d/p_1'$ 조건을 만족하는 특정한 $p_1, p_2$-스트래핑 조건이 성립할 경우, 근사 수는 점근적으로 Gelfand 수와 동치($a_n \sim c_n$)임을 보였다.
• 논문은 Skrzypczak(2005)에서 열려 있던 근사 수의 모든 열린 사례를 해결하였으며, 특히 $p_1 < 2 < p_2$ 및 $\min(\alpha, \delta) \neq d/p_2$인 경우에 대해 명시적인 $\varkappa$를 가진 날카운 $n^{-\varkappa}$ 감쇠를 제공한다.