[논문 리뷰] General and Stronger Uncertainty Relation

Vishnu M. Bannur|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 02.

Numerical methods in inverse problems인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 자유 매개변수 α를 사용하여 맥코네와 파티의 더 강력한 불확정성 관계를 일반화하여, 무한한 수의 분산 기반 불확정성 부등식의 집합을 도출한다. α에 대해 최소화함으로써, 표준 허프스버그-로버트슨 및 슈뢰딩거 관계가 극한 경우로 축소되는 유일한 최적 부등식을 규명하며, 표준 관계가 실패할 때조차 항상 비자명한 하한을 제공한다.

ABSTRACT

Recently, Maccone and Pati [Phys. Rev. Lett. {\bf 113}, 260401 (2014)] derived few inequalities among variances of incompatible operators which they called stronger uncertainty relations, stronger than Heisenberg-Robertson or Schrodinger uncertainty relations. Here we generalize their study to get infinite number of such inequalities and propose that only one of them may be the correct uncertainty relation between incompatible operators. We get back well known uncertainty relations of Heisenberg-Robertson and Schrodinger under certain limits. We also reexamine the conclusions of Maccone and Pati and comment on their work.

연구 동기 및 목표

• 일부 상태에서 상반된 관측량에 대해 표준 불확정성 관계가 자명한(영) 하한을 도출할 수 있는 한계를 해결하기 위해.
• 맥코네와 파티의 더 강력한 불확정성 관계를 자유 매개변수 α를 사용하여 무한한 집합의 그러한 부등식으로 일반화하기 위해.
• 무한한 집합 내에서 가장 최적의 부등식을 α에 대해 최소화하여 찾기 위해, 가능한 한 날카운 하한을 확보하기 위해.
• 유도된 관계가 적절한 극한에서 허프스버그-로버트슨 및 슈뢰딩거 불확정성 관계로 축소됨을 보여주기 위해.
• 스핀-1 시스템과 같은 구체적 예시를 통해 유도된 관계의 비자명성과 강도를 검증하기 위해.

제안 방법

• 실수 매개변수 α를 사용하여 복소 선형 조합 |ϕ⟩ = |ψ_A⟩ + iα|ψ_B⟩를 도입하며, 여기서 |ψ_A⟩와 |ψ_B⟩는 연산자 A와 B의 기대값에서의 편차이다.
• Cauchy-Schwarz 부등식을 |ϕ⟩와 |ψ⟩에 수직인 임의의 정규화된 상태 |ψ^⊥⟩에 적용하여, α에 의존하는 복소 부등식을 도출한다.
• 부등식을 실수부와 허수부로 분리하여, α에 따라 달라지는 일반적인 불확정성 관계를 유도한다. 그 형태는 [ΔA² - |⟨ψ^⊥|A|ψ⟩|²] + α²[ΔB² - |⟨ψ^⊥|B|ψ⟩|²] + iα[⋯] ≥ 0이다.
• 유도된 표현식을 α에 대해 최소화하여, 가장 날카운 하한을 제공하는 최적의 α 값을 찾고, 이를 통해 진정으로 더 강력한 불확정성 관계를 정의한다.
• 최종 부등식을 (ΔA² - |⟨ψ^⊥|A|ψ⟩|²)(ΔB² - |⟨ψ^⊥|B|ψ⟩|²) ≥ ¼|⟨[A,B]⟩ - [⋯]|² 형태로 도출하며, 이는 극한에서 알려진 관계로 축소된다.
• 스핀-1 시스템에서 |ψ⟩ = |0⟩ 및 |ψ^⊥⟩ = cosθ|+⟩ + sinθ|−⟩와 같은 구체적 예시를 사용하여 결과를 검증하며, 유도된 관계가 비자명한 하한을 제공함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 맥코네와 파티의 더 강력한 불확정성 관계는 특정 부등식을 초월하여 자유 매개변수 α를 사용해 무한한 집합의 그러한 관계로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 무한한 집합 내에서 유일한 최적 불확정성 관계가 존재하는가? 만약 그렇다면, 어떻게 식별할 수 있는가?
• RQ3 최적의 관계는 적절한 극한에서 표준 허프스버그-로버트슨 및 슈뢰딩거 불확정성 관계로 축소되는가?
• RQ4 표준 불확정성 관계가 자명한(영) 값을 도출할 때조차도 유도된 관계가 비자명한 하한을 제공할 수 있는가?
• RQ5 수직 상태 |ψ^⊥⟩의 선택과 매개변수 α의 값은 불확정성 하한의 강도와 타당성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 자유 매개변수 α를 사용하여 맥코네와 파티의 접근을 일반화함으로써, 무한한 수의 불확정성 부등식 집합을 도출하며, 그들의 관계가 특수한 경우임을 보여준다.
• α에 대해 최소화함으로써 진정으로 더 강력한 불확정성 관계가 규명되며, 이는 유일한 최적 부등식으로서 가장 날카운 비자명한 하한을 제공한다.
• 상태 |ψ⟩가 A의 고유상태이거나 B의 고유상태일 때, 최적의 관계는 허프스버그-로버트슨 및 슈뢰딩거 불확정성 관계로 축소된다.
• |ψ⟩ = |0⟩ 및 |ψ^⊥⟩ = cosθ|+⟩ + sinθ|−⟩인 스피너-1 시스템의 경우, 유도된 관계는 2ℏ²cos²θ의 비자명한 하한을 제공하지만, 표준 HRS 관계는 영인 자명한 하한을 제공한다.
• |ψ^⊥⟩와 α의 다양한 선택에 대해 부등식은 비자명하고 일관되게 유지되며, 특정 스피너 상태에서 α = ±1일 경우 등호가 성립한다.
• 이 방법은 유도된 관계가 맥코네와 파티의 원래 관계보다 더 강력하다는 것을 확인하며, 상태가 어느 관측량의 고유상태도 아니면 항상 비자명한 하한을 제공하고 더 날카운 하한을 도출한다.