[논문 리뷰] General approximation method for the distribution of Markov processes conditioned not to be killed

Denis Villemonais|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 05.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 25인용 수 44

한 줄 요약

이 논문은 강한 마르코프 과정이 무한히 생존하도록 조건화된 분포에 대한 일반적인 근사 방법을 제시한다. 이 방법은 재생(rebirth)을 포함한 플레밍-비엇 유형의 입자 시스템을 사용하며, 약한 조건 하에서 수렴을 보장한다. 이 조건들로는 재생의 거의 확실한 비폭발성과 양의 생존 확률이 포함되며, 근사의 수렴 속도는 정량적으로 제공된다.

ABSTRACT

We consider a strong Markov process with killing and prove an approximation method for the distribution of the process conditioned not to be killed when it is observed. The method is based on a Fleming-Viot type particle system with rebirths, whose particles evolve as independent copies of the original strong Markov process and jump onto each others instead of being killed. Our only assumption is that the number of rebirths of the Fleming-Viot type system doesn't explode in finite time almost surely and that the survival probability of the original process remains positive in finite time. The approximation method generalizes previous results and comes with a speed of convergence. A criterion for the non-explosion of the number of rebirths is also provided for general systems of time and environment dependent diffusion particles. This includes, but is not limited to, the case of the Fleming-Viot type system of the approximation method. The proof of the non-explosion criterion uses an original non-attainability of $(0,0)$ result for pair of non-negative semi-martingales with positive jumps.

연구 동기 및 목표

• 희귀한 생존 사건으로 인해 단순 몬테카를로 방법이 실패하는 경우를 고려하여, 마르코프 과정이 죽지 않도록 조건화된 분포에 대한 일반적인 근사 방법을 개발하는 것.
• 기존의 플레밍-비엇 입자 시스템 결과를 확장하기 위해 가정 조건을 완화하고, 더 넓은 범위의 과정에 적용 가능한 방법을 제공하는 것.
• 입자 시스템을 사용하여 조건화된 분포 근사의 수렴 속도를 확립하는 것.
• 입자 시스템에서 재생 횟수가 유한 시간 내에 폭발하지 않도록 보장하는 충분조건을 도출하는 것. 이는 방법의 타당성에 필수적이다.

제안 방법

• 이 방법은 $N \geq 2$개의 입자를 포함하는 플레밍-비엇 유형의 입자 시스템을 사용한다. 입자들은 죽음이 발생할 때까지 원래의 마르코프 과정과 같이 독립적으로 진화한다.
• 죽음이 발생하면, 한 명의 입자만 죽고 다른 입자들이 동시에 점프하지 않는 한, 죽은 입자는 남아 있는 입자들 중에서 균일하게 무작위로 선택된 한 입자의 위치에 즉시 재생된다. 이로써 활성 입자의 수가 유지된다.
• 시스템은 재생을 통해 점진적으로 정의되며, 다수의 입자가 동시에 죽거나 점프하는 경우 실패로 간주된다.
• 재생의 폭발이 일어나지 않으며 생존 확률이 양수임을 전제로 하는 가설 A(N) 하에서, 입자 시스템의 경험적 측도가 조건화된 분포로 수렴함을 입증한다.
• 핵심 기술적 도구로는 양의 점프를 갖는 비음수의 국소 martingale 쌍에 대한 도달 불가능성 결과이며, 이는 폭발 방지 조건을 증명하는 데 사용된다.
• 수렴 증명은 로아프노프 유형의 함수와 로그 경험적 측도 및 국소 시간 항을 포함하는 변환된 과정에 이토 공식을 적용함으로써 수행된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건 하에서 마르코프 과정이 죽지 않도록 조건화된 분포를 재생이 있는 입자 시스템으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 입자 시스템의 경험적 측도가 진짜 조건화된 분포로 수렴하는 속도는 무엇인가?
• RQ3 플레밍-비엇 유형 시스템에서 재생 횟수가 유한 시간 내에 유한하게 유지되는 조건은 무엇인가? 이는 시스템의 잘 정의됨을 보장한다.
• RQ4 국소 martingale 쌍에 대한 도달 불가능성 결과는 시간과 환경에 의존하는 확산 입자 시스템의 폭발 방지 조건 유도에 어떻게 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 가설 A(N) 하에서 근사 방법은 진짜 마르코프 과정이 죽지 않도록 조건화된 분포로 수렴한다. 이 가설은 재생의 거의 확실한 비폭발성과 유한 시간 내 양의 생존 확률을 요구한다.
• 정량적 수렴 속도가 확립되었으며, 적절한 모멘트 조건 하에서 오차는 국소 시간 항과 시간의 합에 비례하는 상수 곱으로 유계된다.
• 일반적인 시간과 환경에 의존하는 확산 입자 시스템(플레밍-비엇 시스템 포함)에 대해 재생의 폭발 방지에 대한 충분조건이 도출되었다.
• 폭발 방지 조건은 양의 점프를 갖는 비음수의 국소 martingale 쌍에 대한 새로운 도달 불가능성 결과에 기반하며, 이는 과정이 유한 시간 내에 원점에 도달하지 않음을 보장한다.
• 이 방법은 하드 죽음과 소프트 죽음 메커니즘을 포함한 더 넓은 범위의 마르코프 과정에 대해 이전 결과를 일반화한다.
• 수렴 증명은 로아프노프 함수의 논리와 정지 시간을 이용한 폭발 시간 통제 기법을 통해 완성된다.