[논문 리뷰] General Doubly Stochastic Maximum Principle and Its Applications to Optimal Control of Stochastic Partial Differential Equations

Liangquan Zhang, Yufeng Shi|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 30.

Stochastic processes and financial applications인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 제어에 의존하는 계수를 가진 비선형 확률적 열 방정식에 대한 최적 제어를 위한 일반적인 이重확률 최대원리( doubly stochastic maximum principle)를 수립하며, 최적성에 대한 필요 및 충분 조건을 도출한다. 이 원리들은 전진-역행 이중확률 선형-제곱 제어 문제와 확률적 편미분방정식 제어 예제에 적용되어 이러한 시스템에 대한 통합된 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we prove the necessary and sufficient maximum principles (NSMPs in short) for the optimal control of systems described by a quasilinear stochastic heat equation within convex control domains, which all the coefficients contain control variables. For that, the optimal control problem of fully coupled forward-backward doubly stochastic system is studied. We apply our NSMPs to treat a kind of forward-backward doubly stochastic linear quadratic optimal control problems and an example of optimal control of stochastic partial differential equations (SPDEs in short) as well.

연구 동기 및 목표

• 제어에 의존하는 계수를 가진 비선형 확률적 열 방정식에 의해 지배되는 시스템에 대한 최적 제어를 위한 필요 및 충분 최대원리를 개발하기 위해.
• 최대원리 프레임워크를 완전히 결합된 전진-역행 이중확률 시스템으로 확장하기 위해.
• 유도된 원리를 이중확률 설정 내에서 선형-제곱 최적 제어 문제를 해결하는 데 적용하기 위해.
• 구체적인 예시를 통해 이론의 적용 가능성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 확률 미적분학과 쌍대 방정식을 사용하여 제어에 의존하는 계수를 가진 비선형 확률적 열 방정식에 대한 필요 및 충분 최대원리( NSMPs)를 유도하기 위해.
• 완전히 결합된 전진-역행 이중확률 시스템 프레임워크 내에서 최적 제어 문제를 수립하기 위해.
• 최대원리에 필요한 쌍대 과정을 기술하기 위해 역행 확률 미분 방정식(BSDEs)을 활용하기 위해.
• 이중확률 동역학을 가진 선형-제곱 최적 제어 문제에 NSMPs를 적용하여 명시적인 최적 제어 법칙을 도출하기 위해.
• 제안된 프레임워크를 사용하여 확률적 편미분방정식 제어를 위한 구체적인 예를 구성하기 위해.
• 예제 문제의 분석적 다루기를 통해 이론적 결과의 일관성과 적용 가능성을 검증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어에 의존하는 계수를 가진 비선형 확률적 편미분방정식에 대한 일반적인 이중확률 최대원리는 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 완전히 결합된 전진-역행 이중확률 시스템에서 최적성에 대한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 유도된 최대원리는 어떤 방식으로 확률적 편미분방정식 동역학 하에서 선형-제곱 최적 제어 문제를 해결하는 데 적용될 수 있는가?
• RQ4 이론적 프레임워크는 구체적인 SPDE 제어 예시에 효과적으로 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 제어에 의존하는 계수를 가진 비선형 확률적 열 방정식에 대한 최적 제어를 위한 일반적인 필요 및 충분 최대원리가 수립되었다.
• 이 프레임워크는 완전히 결합된 전진-역행 이중확률 시스템으로 성공적으로 확장되어 더 넓은 적용 가능성을 확보하였다.
• 최대원리는 이중확률 설정 내에서 선형-제곱 최적 제어 문제의 최적 해를 도출하는 데 적용되었다.
• 제안된 이론적 프레임워크를 사용하여 확률적 편미분방정식 제어를 위한 구체적인 예가 해결되었다.
• 유도된 조건들은 제어에 의존하는 동역학을 가진 복잡한 확률적 PDE 시스템에서 최적 제어를 체계적으로 식별하는 데 도움을 주었다.
• 결과들은 제안된 최대원리가 고차원적, 비선형적, 그리고 확률적 제어 시스템을 다루는 데 실현 가능하고 효과적임을 보여주었다.