[논문 리뷰] General entropic uncertainty relations for $N$-level systems

Steeve Zozor, G. M. Bosyk외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 21.

Statistical Mechanics and Entropy참고 문헌 47인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 N-레벨 시스템 내 임의의 양자 관측량 쌍에 대해 일반화된 엔트로피—샤논, 레니, 츠라illis—합에 대한 일반적인 하한을 도출한다. 기하 최적화 접근법을 사용하여 헬더 쌍대성 조건을 회피하며, 관측량의 고유기저 간의 오버랩 $ c $ 에 따라 하한이 결정된다. 이 하한은 $ c \leq \frac{1}{\sqrt{2}} $ 일 때 최적이며, 드류트의 하한을 개선하고 특정 영역에서는 마센-오프링크의 하한을 초월한다.

ABSTRACT

We revisit entropic formulations of the uncertainty principle for an arbitrary pair of quantum observables in $N$-dimensional Hilbert space. Generalized entropies, including Shannon, R\'enyi and Tsallis' ones among others, are used as uncertainty measures associated with the distribution probabilities corresponding to the outcomes of the observables. We obtain a lower bound for the sum of generalized entropies for any couple of (positive) entropic indices. The bound depends on the overlap $c$ between the observables' eigenbases, and is valid for pure states as well as for mixed states. Our approach is inspired by that of de Vicente and S\'anchez-Ruiz [Phys. Rev. A 77, 04110 (2008)] and consists in a minimization of the entropy sum subject to the Landau-Pollak inequality that links the maximum probabilities for both observables. We solve the constrained optimization problem in a geometrical way and furthermore we overcome the H\older conjugacy constraint imposed on the entropic indices by Riesz-Thorin theorem generally used for when dealing with entropic formulations of the uncertainty principle. We show that (i) for given $c \le \frac{1}{\sqrt2}$, the bound obtained is optimal; and that, in the case of R\'enyi entropies, (ii) our bound improves Deutsch's one, but (iii) Maassen-Uffink's bound prevails when $c \le \frac12$. Finally, we compare our bound with known previous results in the cases of R\'enyi and Tsallis entropies.

연구 동기 및 목표

• 표준 레니 및 츠라illis 엔트로피를 넘어서 보다 광범위한 일반화된 엔트로피 클래스를 포함하는 엔트로픽 불확실성 관계를 확장하기 위해.
• 엔트로픽 불확실성 수식에서 일반적으로 적용되는 리에즈-토린 정리에 의해 유도되는 헬더 쌍대성 조건을 극복하기 위해.
• 순수 및 혼합 양자 상태 모두에 적용 가능한 일반화된 엔트로피 합에 대한 통합 하한을 도출하기 위해.
• 랜도-폴락 부등식 조건 하에서 기하 최소화 절차를 활용하여 기존 하한—특히 드류트의 하한과 마센-오프링크의 하한—을 개선하기 위해.

제안 방법

• 측정 결과의 불확실성 척도로 일반화된 엔트로피(샤논, 레니, 츠라illis)를 사용하여 불확실성 원리를 수립한다.
• 두 관측량의 최대 확률 간의 관계를 연결하는 제약 조건으로 랜도-폴락 부등식을 적용한다.
• 헬더 쌍대성 조건에 의존하지 않는 기하적 방법으로 제약 최적화 문제를 해결한다.
• 관측량의 고유기저 간 오버랩 $ c $ 에 명시적으로 의존하는 엔트로피 합에 대한 하한을 도출한다.
• 확률 단체에서의 변분 기법을 사용하여 랜도-폴락 제약 조건 하에서 엔트로피 합의 최소화를 수행한다.
• 다양한 엔트로피 지수에서 하한을 검증하고 문헌에 기록된 결과들과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 N-레벨 시스템 내 임의의 관측량 쌍에 대해 일반화된 엔트로피 합에 대한 통합 하한을 유도할 수 있는가?
• RQ2 특히 헬더 쌍대성 영역 외부에서 다양한 엔트로피 지수에서 이 하한은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 제안된 방법이 특정 오버랩 $ c $ 값에서 드류트의 또는 마센-오프링크의 관계보다 더 날카운 하한을 도출하는가?
• RQ4 하한이 $ c \leq \frac{1}{\sqrt{2}} $ 에서 최적인가, 그리고 만약 그렇다면 어떤 조건에서인가?
• RQ5 기하 최적화 접근법이 엔트로픽 불확실성 수식에서 리에즈-토린 정리에 의해 유도되는 제약 조건을 회피할 수 있는가?

주요 결과

• 유도된 일반화된 엔트로피 합에 대한 하한은 $ c \leq \frac{1}{\sqrt{2}} $ 일 때 최적이며, 날카운 불확실성 한계를 제공한다.
• 레니 엔트로피의 경우, 새로운 하한은 모든 엔트로피 지수에서 드류트의 하한을 개선한다.
• $ c \leq \frac{1}{2} $ 일 때는 마센-오프링크의 하한이 여전히 제안된 하한보다 유리하다.
• 메서드가 성공적으로 헬더 쌍대성 조건을 우회하여 불확실성 관계의 적용 범위를 넓혔다.
• 하한은 순수 및 혼합 양자 상태 모두에 유효하여 일반성과 강도를 높였다.
• 기존 결과들과의 비교에서 제안된 하한은 특히 $ c \in \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right] $ 의 중간 영역에서 더 날카운 불확실성 추정치를 제공함을 보였다.