[논문 리뷰] General existence and uniqueness of viscosity solutions for impulse control of jump-diffusions

Roland C. Seydel|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 30.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 41인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 점프-확산 과정의 임펄스 제어에서 발생하는 해밀턴-자코비-베르만 준변분부등식(HJBQVI)에 대한 점도해의 일반적 존재성과 유일성을 확립한다. 존재성은 확률적 방법을, 유일성은 점도해 이론을 사용한다. 이는 점도해 프레임워크에서 무한 활동 점프를 갖는 임펄스 제어를 엄밀하게 다룬 최초의 논문으로, 가치 함수의 사전 연속성 가정 없이 비유계 해와 제곱형 비용을 허용한다.

ABSTRACT

General theorems for existence and uniqueness of viscosity solutions for Hamilton-Jacobi-Bellman quasi-variational inequalities (HJBQVI) with integral term are established. Such nonlinear partial integro-differential equations (PIDE) arise in the study of combined impulse and stochastic control for jump-diffusion processes. The HJBQVI consists of an HJB part (for stochastic control) combined with a nonlocal impulse intervention term. Existence results are proved via stochastic means, whereas our uniqueness (comparison) results adapt techniques from viscosity solution theory. This paper is to our knowledge the first treating rigorously impulse control for jump-diffusion processes in a general viscosity solution framework; the jump part may have infinite activity. In the proofs, no prior continuity of the value function is assumed, quadratic costs are allowed, and elliptic and parabolic results are presented for solutions possibly unbounded at infinity.

연구 동기 및 목표

• 결합된 확률적 및 임펄스 제어 문제에서 HJBQVI의 점도해에 대한 일반적 존재성과 유일성 프레임워크를 수립하기.
• 기원점에서 특이한 점프 측도를 갖는 레비 과정을 포함한 무한 활동 점프를 갖는 점프-확산 과정을 다루기.
• 이전 접근 방식에서 흔히 요구되던 가치 함수의 연속성 가정을 제거하기.
• 타원형 및 쌍곡형 설정 모두에서 무한대에서 비유계 해와 제곱형 비용을 허용하기.
• 거래비용과 시장 비효율성 등을 수반하는 금융 및 보험 적용에 적용 가능한 강력한 이론적 기반 제공하기.

제안 방법

• 동적 프ogramming 원리를 활용한 확률적 제어 방법을 통해 점도해의 존재성을 증명하기.
• HJBQVI에 내재된 비국소적 임펄스 간섭 항을 다룰 수 있도록 점도해 기법을 적응시키기.
• 값 함수가 사전에 연속적이지 않더라도, 점도해의 비교 원리를 적용하여 유일성을 확보하기.
• 제어된 과정의 정지 시간과 수렴성을 제어하기 위해 확률적 연속성과 균일 추정을 활용하기.
• 균일 수렴성을 보장하기 위해 변동성이 더 높은 지배 과정을 통한 비교 프레임워크 구축하기.
• 비유계 영역과 해를 포함한 타원형 및 쌍곡형 HJBQVI에 이론을 적용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 값 함수의 연속성을 사전 가정하지 않고도 점프-확산 과정의 임펄스 제어에서 HJBQVI의 점도해 존재성과 유일성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 기원점에서 특이한 레비 측도를 갖는 무한 활동 점프 과정을 다룰 수 있는 이론은 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ3 이 프레임워크는 제곱형 비용과 무한대에서 비유계 해를 수용할 수 있는가?
• RQ4 초기 조건의 약한 수렴이 성립할 때 제어된 과정의 정지 시간이 확률적으로 수렴하는 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ5 점프가 존재하는 상황에서 비국소적 임펄스 연산자를 다룰 수 있도록 비교 원리는 어떻게 적응시킬 수 있는가?

주요 결과

• 값 함수의 연속성 가정 없이도 확률적 방법을 통해 점도해의 존재성이 증명된다.
• 비국소적 HJBQVI의 구조에 적합하게 조정된 비교 원리를 통해 비유계 해에 대해서도 유일성이 확보된다.
• 기원점에서 특이한 레비 측도를 갖는 점프-확산 과정을 포함한 무한 활동 점프 과정을 다룰 수 있는 프레임워크가 구축된다.
• 비용 기능에 제곱형 비용이 허용되며, 가치 함수는 무한대에서 비유계일 수 있다.
• 초기 조건의 약한 수렴 하에서 제어된 과정의 정지 시간이 균일한 확률적 연속성 추정을 통해 확률적으로 수렴함을 보였다.
• 거래비용과 복합적인 확률적 및 임펄스 제어를 수반하는 금융 및 보험 응용 분야에 대한 엄밀한 이론적 기반을 제공한다.