[논문 리뷰] General form of quantum mechanics with noncommutative coordinates

Vladislav Kupriyanov|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 21.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 1인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 좌표의 비가환성에 의해 기술되는 연산자 값의 구조 $\hat{\omega}_{ij}(\hat{x})$ 를 포함하도록 하이젠베르크 대수를 확장하여 비가환 양자역학의 일반적인 프레임워크를 개발한다. 다형미분 표현을 구축하고, 추적 함수형을 통해 자기수반성을 강제함으로써, 곡률이 있는 비가환 공간에서 자유 입자를 포함한 시스템에 대해 일관된 공식화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Noncommutative quantum mechanics can be considered as a first step in the con- struction of noncommutative quantum field theory of generic form. In this paper we discuss the mathematical framework of the non-relativistic quantum mechanics with coordinate operators satisfying the algebra � ˆ x i , ˆ j � = i�ˆ ! ij (ˆx), where ˆ ! ij (ˆx) is some given operator describing the noncommutativity of the space andis the parameter of noncommutativity. First we introduce the momenta operators ˆ pi conjugated to the corresponding coordinates and construct the complete algebra of commutation relations between these operators as a deformation inof a standard Heisenberg algebra. Then we construct a polydifferential representation of this algebra as a deformation of coordinate representation of the Heisenberg algebra. To fix the ar- bitrariness in our construction we require that the phase space operators should be self-adjoint with respect to the trace functional defined on the above algebra. As an example we consider a free particle in curved noncommutative space.

연구 동기 및 목표

• 비가환 좌표를 포함하도록 양자역학을 일반화하여, 교환관계 $[\hat{x}_i, \hat{x}_j] = i\theta \hat{\omega}_{ij}(\hat{x})$ 가 연산자에 의존하는 비가환성의 구조를 포함한다.
• 표준 하이젠베르크 대수를 확장하여 운동량 연산자 $\hat{p}_i$ 를 도입하고, 변형된 교환관계 대수 전체를 변형된 형태로 유도한다.
• 표준 좌표 표현의 변형으로서 비가환 설정에 일반화된 다형미분 표현을 구축한다.
• 위상공간 연산자가 대수 위에서 정의된 추적 함수형에 대해 자기수반임을 요구함으로써, 표현 및 게이지의 모호함을 해결한다.
• 자신감 있는 예시로서 곡률이 있는 비가환 공간에서의 자유 입자를 통해 프레임워크의 적용 가능성을 보여준다.

제안 방법

• 좌표 간 비가환성에 의해 기술되는 $[\hat{x}_i, \hat{x}_j] = i\theta \hat{\omega}_{ij}(\hat{x})$ 를 통해 비가환 대수를 정의하며, 여기서 $\hat{\omega}_{ij}(\hat{x})$ 는 공간적 비가환성을 캡슐화한다.
• 쌍대 운동량 $\hat{p}_i$ 를 도입하고, $\hat{x}_i$, $\hat{p}_j$ 및 $\hat{p}_i$, $\hat{p}_j$ 간의 변형된 교환관계를 표준 하이젠베르크 대수의 변형으로서 도출한다.
• 비가환 기하학적 설정에 일반화된 표준 좌표 표현의 변형으로서 변형된 대수의 다형미분 표현을 구축한다.
• 모든 위상공간 연산자가 대수 위에서 정의된 추적 함수형에 대해 자기수반임을 요구함으로써, 표현 및 게이지의 모호함을 해결한다.
• 형식을 곡률이 있는 비가환 공간에서의 자유 입자에 적용하여, 프레임워크의 일관성과 물리적 타당성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연산자 값의 구조 상수를 포함하는 비가환 좌표를 포함하는 하이젠베르크 대수는 어떻게 일관되게 변형될 수 있는가?
• RQ2 이러한 비가환 프레임워크에서 좌표와 운동량 간의 전체 교환관계 대수는 무엇인가?
• RQ3 물리적 일관성을 유지하면서 변형된 대수의 다형미분 표현은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 비가환 설정에서 위상공간 연산자의 자기수반성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크는 곡률이 있는 비가환 공간에서의 자유 입자와 같은 물리적 시스템을 기술할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 비가환 좌표를 포함하고 연산자 값의 구조 상수 $\hat{\omega}_{ij}(\hat{x})$ 를 가진 변형된 하이젠베르크 대수를 성공적으로 구축하였다.
• 표준 좌표 표현의 일반화로서 비가환 기하학에 적합한 변형된 대수의 다형미분 표현이 도출되었다.
• 추적 함수형에 대한 자기수반성 조건은 표현의 모호함을 유일하게 고정시켰다.
• 프레임워크는 곡률이 있는 비가환 공간에서의 자유 입자에 적용되어 일관성과 물리적 관련성을 보였다.
• 비가환 양자장 이론으로의 기초 단계를 제공하며, 곡률과 비가환 공간 구조를 포함하도록 양자역학을 일반화하였다.