[논문 리뷰] General framework for a portfolio theory with non-Gaussian risks and non-linear correlations

Yannick Malevergne, Didier Sornette|ArXiv.org|2001. 03. 01.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 14인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 자산 수익률의 주변분포를 수정된 Weibull 분포로 모델링하고, 종속성 구조를 가우시안 코풀라로 표현하여 비정규 위험과 비선형 상관관계를 고려한 일반적인 포트폴리오 이론 프레임워크를 개발한다. 포트폴리오 수익률 꼬리, 모멘트, 위험 측도에 대한 정확한 해석적 표현을 유도하여, 기대 수익률을 증가시키면서도 큰 위험을 동시에 감소시킬 수 있는 최적화를 가능하게 하며, 이는 '케이크를 먹고도 그것을 먹을 수 있다'는 상황을 실현한다. 강력한 실증적 검증을 통해 뒷받 Circa 1990년대 이후의 금융 시계열 데이터와의 일치도 확인되었다.

ABSTRACT

Using a family of modified Weibull distributions, encompassing both sub-exponentials and super-exponentials, to parameterize the marginal distributions of asset returns and their natural multivariate generalizations, we give exact formulas for the tails and for the moments and cumulants of the distribution of returns of a portfolio make of arbitrary compositions of these assets. Using combinatorial and hypergeometric functions, we are in particular able to extend previous results to the case where the exponents of the Weibull distributions are different from asset to asset and in the presence of dependence between assets. We treat in details the problem of risk minimization using two different measures of risks (cumulants and value-at-risk) for a portfolio made of two assets and compare the theoretical predictions with direct empirical data. While good agreement is found, the remaining discrepancy between theory and data stems from the deviations from the Weibull parameterization for small returns. Our extended formulas enable us to determine analytically the conditions under which it is possible to ``have your cake and eat it too'', i.e., to construct a portfolio with both larger return and smaller ``large risks''.

연구 동기 및 목표

• 비정규 수익률 분포와 자산 간 비선형 의존성을 반영한 포트폴리오 이론의 일반적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 비정규 분포, 특히 꼬리가 두꺼운, 초지수적, 초초지수적 수익률 분포를 모델링함으로써 기존 마크owitz 포트폴리오 이론의 정규성 가정을 초월하기 위해.
• 임의의 자산 가중치와 의존성 구조 하에서 포트폴리오 수익률의 꼬리 및 모멘트에 대한 정확한 해석적 공식을 제공하기 위해.
• 기대 수익률을 증가시키면서도 큰 위험(예: VaR 및 고차 모멘트)을 동시에 감소시킬 수 있는 포트폴리오 최적화를 가능하게 하기 위해.
• 이론적 예측이 금융 시계열 데이터와의 비교를 통해 실증적으로 검증되며, 특히 작은 수익에 대한 Weibull 매개수화 가정에서의 이격으로 인한 잔차를 규명하기 위해.

제안 방법

• 수정된 Weibull 분포를 사용하여 자산 수익률의 주변분포를 매개수화함으로써, 정규분포, 초지수적, 초초지수적 형태를 특수한 경우로 포함함.
• 실제 주변분포를 가우시안 법칙으로 투영하기 위한 비선형 변환을 적용한 후, 다변량 분포를 구성하기 위해 엔트로피 최적화를 수행함.
• 다양한 지수와 의존성 수준에 대해 조합론적 및 초함수를 활용한 정확한 해석적 표현을 도출하여 포트폴리오 수익률의 꼬리 행동을 분석함.
• 임의의 양의 지수와 자산 수에 대해 포트폴리오 수익률의 모멘트 공식을 일반화하고, 이중 자산 포트폴리오에 대해 명시적인 닫힌 형태의 표현을 제공함.
• 고차 모멘트(위험 측도로 사용)와 VaR를 활용한 리스크 최소화에 이 프레임워크를 적용하고, 이론적 예측과 실증 데이터를 비교함.
• 라그랑주 승수법을 사용하여 고차 모멘트를 최소화하는 최적의 포트폴리오 가중치를 유도함으로써, 수익률 증가와 큰 리스크 감소를 동시에 달성할 수 있도록 함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기대 수익률을 증가시키면서도 큰 리스크를 동시에 감소시킬 수 있는 포트폴리오를 구성할 수 있는가? 이는 기존의 리스크-수익 트레이드오프를 초월하는가?
• RQ2 개별 자산이 서로 다른 지수를 가진 수정된 Weibull 분포를 따르고, 서로 다른 의존성 구조를 가질 경우, 포트폴리오 수익률의 꼬리 분포의 해석적 형태는 무엇인가?
• RQ3 일반적인 의존성과 비정규 주변분포 하에서 포트폴리오 수익률의 모멘트, 특히 고차 모멘트는 어떻게 행동하는가?
• RQ4 수정된 Weibull 및 가우시안 코풀라 모델에 기반한 이론적 예측이 금융 시계열 데이터의 리스크 및 수익 측도와 얼마나 일치하는가?
• RQ5 어떤 조건에서 자산의 모멘트와 기대 수익률이, 더 높은 수익을 올리면서도 큰 리스크를 감소시킬 수 있는 포트폴리오를 가능하게 하는가? 그리고 그러한 포트폴리오는 어떻게 해석적으로 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 포트폴리오 수익률의 꼬리는 개별 자산의 지수와 동일한 지수를 가지며, 자산 가중치, 의존성 강도, 지수 c에 따라 달라지는 특성 척도 χ를 가진 수정된 Weibull 형태로 渐近적으로 따름.
• 이중 자산 포트폴리오의 경우, 초함수를 활용한 명시적 해석적 표현이 유도되었으며, 감마 함수와 상관관계 ρ에 의존하는 항을 포함한 닫힌 형태의 해를 제공함.
• 실증적 캘리브레이션 결과, 이론적 모멘트와 금융 시계열 데이터로부터 수치적으로 계산된 모멘트 간 강력한 일치를 보였으며, 주로 작은 수익에서 Weibull 매개수화 가정에서의 이격으로 인해 잔차가 발생함.
• 이 프레임워크를 통해 기대 수익률 증가와 동시에 큰 리스크 감소(예: VaR 및 고차 모멘트 기반)를 동시에 달성할 수 있는 포트폴리오를 해석적으로 구성할 수 있으며, 이는 '케이크를 먹고도 그것을 먹을 수 있다'는 가능성을 수식화함.
• 라그랑주 승수법을 활용하여 고차 모멘트를 최소화하는 최적의 포트폴리오 가중치를 닫힌 형태로 도출하였으며, 가중치는 n차 모멘트의 역수의 (n−1)제곱근에 비례함.
• n차 모멘트를 최소화하는 포트폴리오가 (n+k)차 모멘트를 최소화하는 포트폴리오보다 더 높은 수익률을 달성할 수 있는 조건을 유도하였으며, 이 조건은 자산 간 모멘트와 기대 수익률의 상대적 척도에 따라 달라짐.