[논문 리뷰] General Genus Zhu Recursion for Vertex Operator Algebras

Michael P. Tuite, Michael Welby|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 15.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 슈롯키 균형화를 사용하여 정점 연산자 대수(VOA)의 주어진 리만 곡면에 대해 주어진 Zhu의 재귀를 임의의 종수에 일반화하며, 해석적 미분형식과 GEM 형식과 같은 기하적 대상으로서의 보편 계수를 도출한다. 이는 모듈리 공간 위의 미분 연산자를 통해 등각 Ward 항등식을 수립하고, 히젠베르그 VOA의 모든 상관 함수 및 짝수 래티스 VOA의 분할 함수를 시에겔 θ 급수와 종수 g 히젠베르그 분할 함수로 표현한다.

ABSTRACT

We describe Zhu recursion for a vertex operator algebra (VOA) on a general genus Riemann surface in the Schottky uniformization where $n$-point correlation functions are written as linear combinations of $(n-1)$-point functions with universal coefficients. These coefficients are identified with specific geometric structures on the Riemann surface. We apply Zhu recursion to the Heisenberg VOA and determine all its correlation functions. For a general VOA, Zhu recursion with respect to the Virasoro vector is shown to lead to conformal Ward identities expressed in terms of derivatives with respect to the surface moduli. We derive linear partial differential equations for the Heisenberg VOA partition function and various structures such as the bidifferential of the second kind, holomorphic 1-forms and the period matrix. We also compute the genus $g$ partition function for an even lattice VOA.

연구 동기 및 목표

• Schottky 균형화 프레임워크를 사용하여 Zhu의 종수 1 재귀를 임의의 종수 g 리만 곡면으로 일반화한다.
• 재귀식의 보편 계수를 해석적 대상, 예를 들어 해석적 미분형식과 GEM 형식으로 식별한다.
• 분할 함수에 작용하는 미분 연산자를 통해 VOA에 대한 등각 Ward 항등식을 도출한다.
• 히젠베르그 VOA에 대한 모든 n점 함수와 짝수 래티스 VOA의 종수 g 분할 함수를 계산한다.
• 종수 g 래티스 VOA 분할 함수와 시에겔 θ 급수 사이의 관계를 수립한다.

제안 방법

• 종수 g 리만 곡면을 매개변수화하기 위해 비표준 매개변수를 사용하는 Schottky 균형화를 사용한다.
• 종수 g n점 함수를 Schottky 매개변수와 표면의 점들에 의존하는 종수 0 상관 함수의 무한합으로 정의한다.
• 종수 0 재귀와 이차형식의 불변성에 기반하여 종수 g Zhu 재귀를 유도하며, 보편 계수 Ψ_N(x,y)와 Θ_a(x,ℓ)를 도출한다.
• Ψ_N(x,y)를 단순 극을 가지며, x에 대해 N-미분형식, y에 대해 (1−N)-편미분형식으로 변환되는 GEM 형식(Green의 함수의 확장된 유수성)으로 식별한다.
• 바이레츠로 1점 함수를 분할 함수에 작용하는 미분 연산자로 표현하며, 계수로 해석적 2미분형식을 사용한다.
• 히젠베르그 분할 함수에 대한 선형 PDE와 이중미분형식, 주기 행렬, 프로젝티브 연결과 같은 기하 대상들을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Schottky 균형화 프레임워크 내에서 Zhu의 종수 1 VOA에 대한 재귀 공식을 임의의 종수 g 리만 곡면으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 고차 종수 Zhu 재귀 공식의 보편 계수에 대응하는 기하 대상은 무엇인가?
• RQ3 종수 g VOA의 맥락에서 바이레츠 벡터로부터 등각 Ward 항등식은 어떻게 유도되는가?
• RQ4 히젠베르그 VOA에 대한 종수 g 표면 위의 완전한 상관 함수 집합은 무엇인가?
• RQ5 짝수 래티스 VOA의 종수 g 분할 함수는 무엇이며, 시에겔 θ 급수와의 관계는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 종수 g Zhu 재귀 공식은 보편 계수 Ψ_N(x,y)와 Θ_a(x,ℓ)를 포함하며, Ψ_N(x,y)는 x=y에서 단순 극을 가지며, x에 대해 N-미분형식, y에 대해 (1−N)-편미분형식으로 변환된다.
• 히젠베르그 VOA의 경우, 모든 n점 함수는 고전적 이중미분형식의 두 번째 종류로 완전히 결정되며, 이는 이전의 종수 2 결과를 일반화한다.
• 바이레츠 1점 함수는 분할 함수에 작용하는 미분 연산자로 주어지며, 계수로 해석적 2미분형식을 사용하여 모듈리 공간 위의 등각 Ward 항등식을 유도한다.
• 히젠베르그 VOA의 종수 g 분할 함수는 주기 행렬, 해석적 1미분형식, 프로젝티브 연결을 포함하는 선형 PDE를 만족하며, 주기 행렬의 경우 Rauch의 항등식을 재구성한다.
• 짝수 래티스 VOA V_L의 종수 g 분할 함수는 Z_{V_L}^{(g)} = Θ_L(Ω) (Z_M^{(g)})^d 로 주어지며, 여기서 Θ_L(Ω)는 시에겔 래티스 θ 급수이고 Z_M^{(g)}는 랭크 1 히젠베르그 분할 함수이다.
• 결과는 [T2]에서의 조합적 유도를 확인하며, 래티스 VOA 분할 함수에 대해 모듈러 표현을 제공하지만, 최근 [Co]에서 제기된 자가 dual 래티스에 대한 주장과는 정면으로 배치된다.