[논문 리뷰] General indifference pricing with small transaction costs

Dylan Possamaï, Guillaume Royer|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 59인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 소규모 거래비용을 가진 다차원 일반 마코프 모델에서 유용성 무관 가격의 엄밀한 점근 전개를 휘어짐 이론과 점성해법 기법을 사용하여 수립한다. 이는 이전의 1차원 결과를 일반적인 유용성 함수와 위험 자산 동역학에 적용 가능한 프레임워크로 확장하며, 에르고딕 제어 문제와 고유값 구조로부터 명시적인 1차 보정항을 도출한다. 이전 연구들과 비교해 수익금 지급 함수의 정규성 조건을 완화함으로써 보다 넓은 적용 범위를 확보한다.

ABSTRACT

We study the utility indifference price of a European option in the context of small transaction costs. Considering the general setup allowing consumption and a general utility function at final time T, we obtain an asymptotic expansion of the utility indifference price as a function of the asymptotic expansions of the utility maximization problems with and without the European contingent claim. We use the tools developed in [54] and [48] based on homogenization and viscosity solutions to characterize these expansions. Finally we study more precisely the example of exponential utilities, in particular recovering under weaker assumptions the results of [6].

연구 동기 및 목표

• 소규모 거래비용을 가진 다차원 모델에서 유용성 무관 가격에 대한 엄밀한 점근 전개가 부족한 문제를 해결한다.
• Soner와 Touzi(2013)의 휘어짐 기반 접근법을 1차원 설정을 초월하여 일반적인 유용성 함수와 다차원 위험 자산으로 확장한다.
• 에르고딕 제어 문제와 고유값 특성화를 통한 유용성 무관 가격의 1차 보정항을 계산하는 통합 프레임워크를 제공한다.
• 이전 연구들(예: Bichuch, 2013)에서 요구한 C⁴ 정규성 조건 대비 C¹ 정규성 조건으로 수익금 지급 함수의 정규성 요구 조건을 완화한다.
• 거래비용이 있는 경우와 없는 경우의 최적 투자 문제의 점근적 행동 간 엄밀한 연결을 수립함으로써 정확한 가격 근사치를 도출한다.

제안 방법

• 소규모 거래비용이 존재할 경우의 가치 함수의 점근적 행동을 분석하기 위해 휘어짐 이론을 활용한다.
• 거래비용이 존재하는 최적 투자-소비 문제의 동적계획법 방정식을 특성화하기 위해 점성해법 기법을 적용한다.
• 유용성 최적화 문제의 가치 함수에 대한 형식적이고 엄밀한 점근 전개를 각각 수익금이 존재하는 경우와 없는 경우에 대해 구성한다.
• 수익금이 존재하는 경우와 없는 경우의 가치 함수 전개를 비교하여 유용성 무관 가격의 1차 보정항을 도출한다.
• 점근 전개의 주요 항을 구성하는 데 핵심적인 역할을 하는 에르고딕 확률 제어 문제의 고유값을 사용한다.
• 잔여항의 유계성과 컴actness를 활용하여, 보조해와 초해의 구성으로 전개의 타당성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 다차원 마코프 모델에서 소규모 거래비용이 존재하는 조건 하에서 유용성 무관 가격의 유용성은 어떻게 점근 전개할 수 있는가?
• RQ2 유용성 무관 가격의 정확한 1차 보정항의 형태는 무엇이며, 거래비용 구조와 관련된 에르고딕 제어 문제와의 관계는 어떠한가?
• RQ3 점근 전개가 기저 유용성 함수와 위험 자산의 동역학에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 이전 연구들에서 요구한 C⁴ 정규성 조건 대비 C¹ 정규성 조건으로 수익금 지급 함수의 정규성 요구 조건을 완화할 수 있는가?
• RQ5 에르고딕 제어 문제의 고유값이 유용성 무관 가격의 주요 항을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 유용성 무관 가격의 1차 보정항은 에르고딕 확률 제어 문제의 고유값으로 특성화되며, 계산 가능하고 해석 가능한 표현을 제공한다.
• 일반적인 유용성 함수와 다차원 모델에 대해 유용성 무관 가격의 점근 전개가 엄밀히 수립되었으며, 이는 이전의 1차원 결과를 확장한 것이다.
• 동일한 프레임워크 하에서, 수익금 지급 함수의 정규성 요구 조건을 이전 연구들(Bichuch, 2013)에서 요구한 C⁴에서 C¹로 완화함으로써 적용 가능한 수익금의 범위를 크게 넓혔다.
• 잔여항들이 거래비용이 0으로 수렴함과 동시에 근사 매개변수 n이 무한대로 갈 때 균일하게 소멸함을 보이며, 점성해법의 관점에서 수렴성을 확보한다.
• 1차 항까지 일치하는 보조해와 초해를 구성함으로써, 휘어짐 이론에 기반한 변형 기법을 통해 점근 전개의 타당성을 검증한다.
• 에르고딕 고유값을 사용하여 전개의 주요 항을 명시적으로 계산할 수 있으며, 이는 시장 파라미터와 유용성 함수에 따라 결정되지만, 수익금의 특정 형태는 첫 번째 차수의 행동 이외에는 영향을 주지 않는다.