[논문 리뷰] General laws of large numbers under sublinear expectations

Feng Hu|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비선형 기대에 대한 세 가지 일반적인 대수의 법칙을 수립하여, 전통적인 강한 법칙과 약한 법칙을 비가역적 확률 프레임워크로 확장한다. i.i.d. 조건을 완화함으로써, 상한 및 하한 기대에 기반한 표본 평균의 거의 확실 수렴을 $[\underline{\mu}, \overline{\mu}]$로 증명하며, 비가역적 기대에 의해 유도된 능력에 의한 수렴을 분포로 기록한다.

ABSTRACT

In this paper, under some weaker conditions, we give three laws of large numbers under sublinear expectations (capacities), which extend Peng's law of large numbers under sublinear expectations in [8] and Chen's strong law of large numbers for capacities in [1]. It turns out that these theorems are natural extensions of the classical strong (weak) laws of large numbers to the case where probability measures are no longer additive.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 변수에 대한 i.i.d. 조건을 제거하여 펑의 및 첸의 비선형 기대 하에서의 대수의 법칙을 확장한다.
• 비선형 기대에 의해 유도된 능력에 대한 일반적인 강한 및 약한 대수의 법칙을 수립한다.
• 분포가 동일하지 않을 경우에도 표본 평균의 거의 확실한 극한을 상한 및 하한 기대에 따라 특성화한다.
• 최대 분포와 비선형 기대 이론을 활용하여 능력에 의한 수렴을 증명한다.
• 비가역적 확률을 통해 금융 및 통계에서 모델 불확실성을 모델링하기 위한 강력한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 비선형 기대 공간 $ (\Omega, \mathcal{H}, \mathbb{E}) $ 를 사용하며, $ \mathbb{E}[X] = \sup_{P \in \hat{\mathcal{P}}} E_P[X] $ 로 표현되며, $ \hat{\mathcal{P}} $ 는 확률 측도의 집합이다.
• 모호성 모델링을 위해 상한 및 하한 능력 $ \mathbb{V}(A) = \mathbb{E}[I_A] $, $ v(A) = \mathcal{E}[I_A] $ 를 정의하며, $ \mathcal{E}[X] = -\mathbb{E}[-X] $ 이다.
• 펑이 도입한 비선형 기대 하에서의 독립적이고 동일하게 분포된(RV) 랜덤 변수 개념을 적용한다.
• 확률을 유계하고 리프시츠 조건을 만족하는 함수 $ f, g \in C_{b,Lip}(\mathbb{R}) $ 를 구성하여 확률을 유계하고, 기대의 수렴을 이용해 능력의 극한을 유추한다.
• 비선형 기대의 정규성을 확보하기 위해 조건 $ \mathbb{E}[X_n] \downarrow 0 $ 이면 $ X_n \downarrow 0 $ (가정 H) 를 사용한다.
• 최대 분포 개념을 사용하여 표본 평균의 극한 집합을 $ [\underline{\mu}, \overline{\mu}] $ 로 특성화하며, $ \underline{\mu} = \inf \mathbb{E}[X_1] $, $ \overline{\mu} = \sup \mathbb{E}[X_1] $ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전통적인 강한 대수의 법칙은 동일 분포 조건 없이 비선형 기대로 확장될 수 있는가?
• RQ2 랜덤 변수들이 독립이지만 동일 분포가 아닐 경우, 비선형 기대 하에서 표본 평균 $ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i $ 의 극한 행동은 어떠한가?
• RQ3 상한 및 하한 능력 $ \mathbb{V} $ 와 $ v $ 는 모델 불확실성 맥락에서 표본 평균의 수렴을 어떻게 특성화하는가?
• RQ4 어떤 조건이 $ \mathbb{V}\left(\limsup_{n\to\infty} \frac{S_n}{n} = \overline{\mu} \right) = 1 $ 과 $ \mathbb{V}\left(\liminf_{n\to\infty} \frac{S_n}{n} = \underline{\mu} \right) = 1 $ 을 보장하는가?
• RQ5 더 약한 모멘트 또는 의존성 조건 하에서 비선형 기대에 의해 유도된 능력에 대해 약한 대수의 법칙을 수립할 수 있는가?

주요 결과

• 비선형 기대 하에서 동일 분포 조건 없이도 강한 대수의 법칙이 성립한다: $ \mathbb{V}\left(\limsup_{n\to\infty} \frac{S_n}{n} = \overline{\mu} \right) = 1 $ 과 $ \mathbb{V}\left(\liminf_{n\to\infty} \frac{S_n}{n} = \underline{\mu} \right) = 1 $ 이며, $ \overline{\mu} = \sup \mathbb{E}[X_1] $, $ \underline{\mu} = \inf \mathbb{E}[X_1] $ 이다.
• 모든 $ b \in (\underline{\mu}, \overline{\mu}) $ 에 대해 $ \varepsilon > 0 $ 이면 약한 대수의 법칙이 성립한다: $ \lim_{n\to\infty} \mathbb{V}\left( \left| \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - b \right| \leq \varepsilon \right) = 1 $.
• 표본 평균의 극한 집합은 거의 확실히 $ [\underline{\mu}, \overline{\mu}] $ 내에 포함되며, $ \limsup_{n\to\infty} |S_n|/n \leq \max\{|\overline{\mu}|, |\underline{\mu}|\} < \infty $ 이다.
• 유계 리프시츠 함수 $ f $ 에 대해 $ \mathbb{E}[f(S_n/n)] \to \sup_{y \in [\underline{\mu}, \overline{\mu}]} f(y) $ 이면 능력에 의한 수렴이 유도된다.
• 증명은 $ \mathbb{E}[f(S_n/n)] \to 0 $ 이 되도록 하는 테스트 함수 $ f $ 와 $ g $ 를 구성함에 의존하며, 이는 $ \mathbb{V}(S_n/n \leq \underline{\mu} - \varepsilon) \to 0 $ 으로 이어지고, 상단 尾에 대해서도 동일하게 적용된다.
• 결과적으로 i.i.d. 조건을 제거함으로써 펑과 첸의 법칙을 일반화하여, 모델 불확실성 하에서 이질적이지만 상호 독립적인 랜덤 변수에 적용 가능한 것으로 일반화된다.