[논문 리뷰] General quantum algorithms for Hamiltonian simulation with applications to a non-Abelian lattice gauge theory

Zohreh Davoudi, Alexander F. Shaw외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 12. 28.

Physics of Superconductivity and Magnetism인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다중 양자 수에서 상관관계 있는 변화를 가지는 해밀토니안을 시뮬레이션하기 위한 일반적인 양자 알고리즘을 제시한다. 상호작용 항을 대각화하기 위해 특이값 분해(SVD)를 사용하며, 스터지드 페르미온을 가진 1+1차원 SU(2) 격자 양자 격자 이론에 적용했을 때, 게이지 대칭성을 유지하면서 비용이 많이 드는 제어 연산을 피하는 루프-스트링-하드론 형식을 사용함으로써 자원 소모를 크게 줄였다. 이로 인해 CNOT 비용이 최대 380배 감소했으며, 표준 슈윙거 보손 및 각운동량 형식에 비해 뛰어난 성능을 보였다.

ABSTRACT

With a focus on universal quantum computing for quantum simulation, and through the example of lattice gauge theories, we introduce rather general quantum algorithms that can efficiently simulate certain classes of interactions consisting of correlated changes in multiple (bosonic and fermionic) quantum numbers with non-trivial functional coefficients. In particular, we analyze diagonalization of Hamiltonian terms using a singular-value decomposition technique, and discuss how the achieved diagonal unitaries in the digitized time-evolution operator can be implemented. The lattice gauge theory studied is the SU(2) gauge theory in 1+1 dimensions coupled to one flavor of staggered fermions, for which a complete quantum-resource analysis within different computational models is presented. The algorithms are shown to be applicable to higher-dimensional theories as well as to other Abelian and non-Abelian gauge theories. The example chosen further demonstrates the importance of adopting efficient theoretical formulations: it is shown that an explicitly gauge-invariant formulation using loop, string, and hadron degrees of freedom simplifies the algorithms and lowers the cost compared with the standard formulations based on angular-momentum as well as the Schwinger-boson degrees of freedom. The loop-string-hadron formulation further retains the non-Abelian gauge symmetry despite the inexactness of the digitized simulation, without the need for costly controlled operations. Such theoretical and algorithmic considerations are likely to be essential in quantumly simulating other complex theories of relevance to nature.

연구 동기 및 목표

• 다양한 양자 수에서 복잡하고 상관관계 있는 상호작용을 가지는 해밀토니안을 시뮬레이션하기 위한 일반적인 양자 알고리즘 개발.
• 이론적 형식 최적화를 통해 게이지 이론의 디지털 양자 시뮬레이션에서 양자 자원 비용을 감소시키기.
• 루프-스트링-하드론과 같이 명시적으로 게이지 불변성을 유지하는 형식이 시뮬레이션을 단순화하고 고비용의 제어 연산을 피할 수 있음을 보여주기.
• 비아벨 게이지 이론에 대해 근처 시대 및 고신뢰성 모델 모두에서 완전한 양자 자원 분석을 제공하기.
• 효율적인 이론적 형식이 디지털 시간 진동에서 게이지 불변성을 유지하면서 게이트 수를 극적으로 줄일 수 있음을 보여주기.

제안 방법

• 비트리스 함수 계수를 가지는 해밀토니안 항을 대각화하기 위해 특이값 분해(SVD)를 사용한다.
• 곱공식을 통한 디지털 시간 진동을 적용하여 진동 연산자를 대각 단위 연산으로 분해한다.
• 대각 단위 연산을 양자 회로에서 실현하기 위해, 장기적 목적에는 위상 추정, 근처 시대에는 변분 회로를 사용하며, 큐비트 효율적인 인코딩을 적용한다.
• SU(2) 격자 양자 격자 이론의 루프-스트링-하드론 형식을 채택하여 명시적으로 게이지 불변성을 유지한다.
• 교환자 노름과 스펙트럼 노름을 기반으로 한 두 번째 차수의 트로터 오차 한계를 도출하여 오차 분석을 수행한다.
• CNOT 및 T-게이트의 게이트 수 표를 사용하여, 다양한 형식(Schwinger-boson 대비 루프-스트링-하드론) 간의 자원 비용을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SVD 기반 대각화는 다중 양자 수에서 상관관계 있는 변화를 가지는 해밀토니안을 효율적으로 시뮬레이션하는 데 일반화될 수 있는가?
• RQ2 다양한 이론적 형식(Schwinger-boson, 각운동량, 루프-스트링-하드론)이 게이지 이론 시뮬레이션에서 양자 자원 비용에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 루프-스트링-하드론과 같이 명시적인 게이지 불변성을 유지하는 형식은 디지털 시뮬레이션에서 비아벨 대칭성을 유지하면서 고비용의 제어 연산이 필요 없이도 가능할 수 있는가?
• RQ4 형식 선택이 근처 시대 및 고신뢰성 양자 시뮬레이션에서 CNOT 및 T-게이트 수에 미치는 정량적 영향은 무엇인가?
• RQ5 디지털 시간 진동에서 시스템 크기, 결합 강도, 전기장 절단에 따라 오차 한계는 어떻게 스케일링되는가?

주요 결과

• x = 1 및 η = 4일 때, 루프-스트링-하드론( LSH ) 형식은 슈윙거 보손 형식 대비 CNOT 게이트 비용을 최대 380배 감소시켰다.
• x = 1일 때, LSH 형식은 T-게이트 비용을 24.5배 감소시켰으며, x = 1에서 x = 10까지의 범위에서 21~24배 감소하였다.
• LSH 형식은 제어 연산 없이도 비아벨 게이지 대칭성을 유지한다. 반면 기존 형식은 이러한 게이트를 필요로 한다.
• LSH 형식의 두 번째 차수 트로터 오차 한계는 ρLSH(x, Λ, µ) ≈ 47√2x³/3 + 2Λx² + ... 로 스케일링되며, 슈윙거 보손 대비 향상된 스케일링 특성을 보였다.
• 루프-스트링-하드론 형식은 비영인 교환자 항의 수와 그 빈도를 감소시켜, 더 낮은 오차와 게이트 수에 기여하였다.
• 이 알고리즘은 일반적이며, SU(2) 1+1차원 사례를 초월해 고차원 및 다른 아벨/비아벨 게이지 이론에 적용 가능하다.