[논문 리뷰] General relativity histories theory II: Invariance groups

Ntina Savvidou|arXiv (Cornell University)|2003. 06. 09.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 7인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론의 역사 이론에서, 계량에 의존하는 격자 구조가 등가성 조건을 만족할 경우, 캐논ical 제약 조건, 작용 함수 및 운동 방정식이 시공간 미분동형에 대해 불변임을 입증한다. 또한 이 틀 안에서 베르그만-코마르 군의 표현이 존재하며, 양자 중력에서 시간 문제를 해결하는 데 기여하는 통합된 시공간 및 캐논ical 기술을 제공한다.

ABSTRACT

We show in detail how the histories description of general relativity carries representations of both the spacetime diffeomorphisms group and the Dirac algebra of constraints. We show that the introduction of metric-dependent equivariant foliations leads to the crucial result that the canonical constraints are invariant under the action of spacetime diffeomorphisms. Furthermore, there exists a representation of the group of generalised spacetime mappings that are functionals of the four-metric: this is a spacetime analogue of the group originally defined by Bergmann and Komar in the context of the canonical formulation of general relativity. Finally, we discuss the possible directions for the quantization of gravity in histories theory.

연구 동기 및 목표

• 스pacetime diffeomorphism에 의해 관련된 해들이 서로 물리적으로 동치임을 보장함으로써, 캐논ical 일반 상대성 이론에서 다양한 격자 구조 간의 물리적 동치성 문제를 해결하기 위해.
• 등가성 조건을 만족하는 계량에 의존하는 격자 구조를 사용할 경우, 캐논ical 제약 조건과 운동 방정식이 시공간 미분동형에 대해 불변임을 입증하기 위해.
• 역사 형식에서 일반화된 시공간 사상의 베르그만-코마르 군의 표현이 존재함을 보여주기 위해.
• 시공간 공변성을 유지하고 시간 문제를 해결하는 데 기여하는 새로운 중력 양자화 접근법의 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 스pacetime diffeomorphism에 대해 등가성 조건을 만족하는 계량에 의존하는 격자 구조를 도입하며, 조건 $\mathcal{E}(f^*g) = f^{-1} \circ \mathcal{E}(g)$ 로 정의된다.
• 역사 위상공간 $\Pi^{\text{cov}} = T^*\text{LRiem}(M)$ 상의 심플렉틱 구조를 사용하며, 포아송 괄호는 $\{g_{\mu\nu}(X), \pi^{\alpha\beta}(X')\} = \delta_{(\mu\nu)}^{\alpha\beta} \delta^4(X,X')$ 로 주어진다.
• 격자 $\mathcal{E}(g)$ 를 사용하여 3+1 분해를 통해 계량의 4차원 구조를 유도하며, $h_{ij}$, $N_i$, 및 $N^2$ 를 $g$ 와 $\mathcal{E}(g)$ 의 함수로 표현한다.
• 격자가 등가성 조건을 만족할 경우, 시공간 미분동형에 의한 해의 변환에 대해 해밀턴 및 운동량 제약 조건이 불변임을 보여준다.
• 스pacetime 사상이 4차원 계량 $g$ 의 함수임을 특징으로 하는 베르그만-코마르 군 $\mathcal{BK}(M)$ 의 표현을 구성한다.
• 역사 양자화 프로그램이 초해밀토니안 연산자를 명시적으로 구성할 필요 없이, 고전적 위상공간 상의 기하학적 구조를 활용하여 진행될 수 있음을 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캐논ical 일반 상대성 이론에서 다양한 시공간 격자 구조 간에 물리적으로 동치일 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 스pacetime diffeomorphism이 다양한 격자 구조 간에 캐논ical 형식의 물리적 내용을 유지하기 위해 필요한 수학적 조건은 무엇인가?
• RQ3 일반 상대성 이론의 역사 형식에서 일반화된 시공간 사상의 베르그만-코마르 군을 표현할 수 있는가?
• RQ4 등가성 조건을 만족하는 격자 구조의 도입이 캐논ical 제약 조건과 작용 함수의 불변성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 이 틀이 중력의 양자화 및 시간 문제에 대해 어떤 함의를 지닌다?

주요 결과

• 등가성 조건을 만족하는 계량에 의존하는 격자 구조의 도입은 캐논ical 제약 조건, 작용 함수 및 운동 방정식이 시공간 미분동형군 $\text{Diff}(M)$ 의 작용에 대해 불변임을 보장한다.
• 조건 $\mathcal{E}(f^*g) = f^{-1} \circ \mathcal{E}(g)$ 는 격자 구조가 미분동형에 따라 일관되게 변환되며, 잘림의 시공간적 성질을 유지함을 보장한다.
• 격자가 등가성 조건을 만족할 경우, 계량의 푸시다운과 격자의 $g$ 에 대한 함수적 의존성 간의 상쇄 작용으로 인해 해밀턴 및 운동량 제약 조건이 시공간 미분동형에 대해 불변이다.
• 4차원 계량의 함수로 구성된 스팩타클 사상의 베르그만-코마르 군 $\mathcal{BK}(M)$ 의 표현이 역사 이론 틀 내에서 존재한다.
• 역사 형식은 시공간 공변성과 캐논ical 공변성을 모두 지원하며, 양자 중력에서 시간 문제를 해결할 수 있는 통합된 기술을 가능하게 한다.
• 이 틀은 양자화 과정이 고전적 위상공간 상의 기하학적 구조를 통해 진행될 수 있으며, 초해밀토니안 연산자를 명시적으로 구성할 필요 없이도 가능할 수 있음을 시사한다.