[논문 리뷰] General rogue waves and their dynamics in several reverse time integrable nonlocal nonlinear equations

Bo Yang, Yong Chen|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 16.

Nonlinear Waves and Solitons인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 통합된 이진 다르부 변환(DT) 방법을 사용하여 반전 시간 비국소 비선형 방정식—특히 비국소 NLS 및 데이비-스튜어트슨(DS) 방정식—에 대한 일반적인 도발파 솔루션을 수립한다. 도발파는 자유 매개변수에 따라 유계 동역학 또는 유한 시간 특이성을 나타낼 수 있으며, 고차 솔루션은 국소 대응물에 없던 새로운 하이브리드 구조, 예를 들어 포물선형 도발파와 반사 램프를 포함한 구조를 보여준다.

ABSTRACT

A study of general rogue waves in some integrable reverse time nonlocal nonlinear equations is presented. Specifically, the reverse time nonlocal nonlinear Schrödinger (NLS) and nonlocal Davey-Stewartson (DS) equations are investigated, which are nonlocal reductions from the AKNS hierarchy. By using Darboux transformation (DT) method, several types of rogue waves are constructed. Especially, a unified binary DT is found for this nonlocal DS system, thus the solution formulas for nonlocal DSI and DSII equation can be written in an uniform expression. Dynamics of these rogue waves is separately explored. It is shown that the (1+1)-dimensional rogue waves in nonlocal NLS equation can be bounded for both x and t, or develop collapsing singularities. It is also shown that the (1+2)-dimensional line rogue waves in the nonlocal DS equations can be bounded for all space and time, or have finite-time blowing-ups. All these types depend on the values of free parameters introduced in the solution. In addition, the dynamics patterns in the multi- and higher-order rogue waves exhibits more richer structures, most of which have no counterparts in the corresponding local nonlinear equations.

연구 동기 및 목표

• 시간 반전 대칭성으로 인해 국소 방정식과 근본적으로 다른 반전 시간 비국소 비선형 방정식에서 도발파의 존재성과 동역학을 조사하는 것.
• 특히 비국소 DS 계열에 대해 다르부 변환 방법을 비국소 적분 가능 체계로 확장하여 정확한 도발파 솔루션을 구성하는 것.
• 솔루션의 자유 매개변수가 도발파의 동역학—특히 유계성과 유한 시간 특이성—에 미치는 영향을 탐구하는 것.
• 비국소 체계에서의 다중 및 고차 도발파의 구조적 복잡성과 국소 방정식의 대응물 간의 비교를 통해 새로운 동역학 패tern을 규명하는 것.
• 새로운 이진 다르부 변환을 사용하여 비국소 DSI 및 DSII 방정식에 대한 통합된 솔루션 공식을 수립하는 것.

제안 방법

• 반전 시간 비국소 NLS 및 DS 방정식에 대해 정확한 유리함수 솔루션을 생성하기 위해 다르부 변환(DT) 방법을 적용한다.
• 비국소 DS 체계에 대해 통합된 이진 다르부 변환을 도입하여 DSI 및 DSII 방정식의 솔루션을 하나의 표현식으로 가능하게 한다.
• 아블로이츠-카우프-뉴얼-세구르 (AKNS) 계열에 대칭 축소를 적용하여 반전 시간 비국소 NLS 및 DS 방정식을 유도한다.
• 이중형 방법과 매개변수 의존 솔루션 공식을 사용하여 기본 및 고차 도발파의 행동을 분석한다.
• 다양한 매개변수 조건 하에서 수치적 시뮬레이션과 시각화를 수행하여 유계 및 특이 행동을 분류한다.
• 특정 매개변수 조건(예: 순수 허수 f₁) 하에서 분모 함수가 실수 또는 영이 되지 않음을 확인하여 솔루션의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 t의 솔루션이 시간 -t의 솔루션과 결합되는 반전 시간 비국소 비선형 방정식에서 도발파 솔루션이 존재할 수 있는가?
• RQ2 솔루션의 자유 매개변수가 도발파의 동역학—특히 유계 또는 유한 시간 특이성 솔루션을 유도하는지 여부는 무엇인가?
• RQ3 비국소 체계에서 다중 및 고차 도발파는 국소 대응물과 비교해 어떤 새로운 동역학 패턴을 보이는가?
• RQ4 비국소 DSI 및 DSII 방정식에 대해 통합된 다르부 변환을 구성할 수 있으며, 이를 통해 단일 솔루션 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 비국소 DS 방정식의 (1+2)-차원 도발파는 국소 램프가 포물선형 도발파에 반사되는 등의 하이브리드 행동을 나타내는가?

주요 결과

• 비국소 NLS 방정식에서의 기본 (1+1)-차원 도발파는 자유 매개변수의 값에 따라 모든 x와 t에서 유계이거나 붕괴 특이성을 보일 수 있다.
• 비국소 DS 방정식에서의 기본 (1+2)-차원 선형 도발파는 공간과 시간 전역에서 유계이거나 유한 시간 폭발을 보일 수 있으며, 이는 매개변수 선택에 의해 결정된다.
• 비국소 NLS 방정식의 고차 도발파는 붕괴되는 피크와 붕괴되지 않는 피크가 삼각형, 오각형, 원형 배열로 배열된 하이브리드 구조를 보이며, 이는 국소 방정식에서는 관찰되지 않는다.
• 비국소 DSI 방정식에서는 두 번째 차수 솔루션이 고유한 동역학 패턴을 보인다: 국소 램프가 무한원에서 접근하여 포물선형 도발파에 반사된 후 다시 후퇴하며, 포물선은 t=0에 배경에서 나타난다.
• 비국소 DSII 방정식의 경우, γ² = -1 인 고차 솔루션은 거의 항상 시간에 걸쳐 특이성을 보이며, 비특이성 또는 유한 시간 폭발 솔루션의 존재 여부는 아직 알려져 있지 않다.
• 통합된 이진 다르부 변환은 비국소 DSI 및 DSII 방정식에 대해 하나의 균일한 표현식으로 솔루션을 성공적으로 생성하여 그들의 동역학을 체계적으로 분석할 수 있게 한다.