[논문 리뷰] General SIS diffusion process with indirect spreading pathways on a hypergraph

Shaoxuan Cui, Fangzhou Liu외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 06. 01.

Complex Network Analysis Techniques인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다항식 및 일반 상호작용 함수를 통해 직접적인 쌍방향 상호작용과 간접적인 고차원 상호작용을 모두 포괄하는 방향성 있는 초그래프 위의 일반화된 SIS 확산 모델을 제안한다. 이 모델은 기본 재생수 R₀ < 1 이더라도 고차원 상호작용이 이중 안정성(bistability)을 유도할 수 있음을 입증하며, 이중 바이러스 시스템에서 공존 평형점은 일반적으로 불안정하며, 해가 항상 건강 상태 또는 지배적 만성 상태로 수렴함을 보여준다.

ABSTRACT

While conventional graphs only characterize pairwise interactions, higher-order networks (hypergraph, simplicial complex) capture multi-body interactions, which is a potentially more suitable modeling framework for a complex real system. However, the introduction of higher-order interactions brings new challenges for the rigorous analysis of such systems on a higher-order network. In this paper, we study a series of SIS-type diffusion processes with both indirect and direct pathways on a directed hypergraph. In a concrete case, the model we propose is based on a specific choice (polynomial) of interaction function (how several agents influence each other when they are in a hyperedge). Then, by the same choice of interaction function, we further extend the system and propose a bi-virus competing model on a directed hypergraph by coupling two single-virus models together. Finally, the most general model in this paper considers an abstract interaction function under single-virus and bi-virus settings. For the single-virus model, we provide the results regarding healthy state and endemic equilibrium. For the bi-virus setting, we further give an analysis of the existence and stability of the healthy state, dominant endemic equilibria, and coexisting equilibria. All theoretical results are finally supported by some numerical examples.

연구 동기 및 목표

• 쌍방향 직접 상호작용과 간접적 고차원 상호작용을 모두 포함하는 초그래프에서 SIS 유형의 확산 과정을 모델링하기 위해.
• 일반 상호작용 함수 하에 단일 바이러스 및 이중 바이러스 시스템에서 건강 상태 및 만성 평형점의 존재성과 안정성 분석을 위해.
• 쌍방향 연결을 초월하는 고차원 상호작용이 시스템 동역학, 특히 이중 안정성과 공존 행동의 발생에 미치는 영향을 조사하기 위해.
• 비선형이며 다항식이 아닌 상호작용 함수를 통합하고, 비가역성과 단조성 조건 하에서 평형점으로의 수렴을 증명함으로써 이전의 초그래프 전염병 모델 연구를 확장하기 위해.
• 이러한 시스템의 전역적 행동에 대한 이론적 및 수치적 근거를 제공하여, 평형점의 안정성과 불안정성 조건을 포함한다.

제안 방법

• 초모서리(hyperedges)를 통해 다중 에이전트 영향을 기술하는 다항식 상호작용 함수를 사용하여 방향성 있는 초그래프 위의 일반화된 SIS 모델을 수학적으로 정의한다.
• 두 개의 단일 바이러스 시스템을 결합하여 상호작용율과 고차원 상호작용 항이 별도로 설정된 이중 바이러스 경쟁 모델을 도입한다.
• 단조 동역계 이론의 도구를 활용하여 시스템이 항상 비가역적이고 단조적임을 증명한다.
• 고유값 분석과 리아푸노프 함수를 통해 건강 상태, 만성 평형점, 공존 평형점의 존재성과 안정성 조건을 유도한다.
• 초기 조건과 시스템 파라미터를 다양하게 설정한 수치 시뮬레이션을 수행하여 분석 결과, 특히 이중 안정성과 공존 평형점의 불안정성에 대한 타당성을 검증한다.
• 모델을 다항식이 아닌 추상적인 상호작용 함수로 일반화하여, 미약한 조건 하에서도 핵심 동역학적 행동(예: 평형점으로의 수렴)이 유지됨을 보여준다.

Figure 2 : The simulation of the single-virus case when the reproduction number equals $0.0644$ . From 3 different random initial conditions, the model always converges to zero.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 재생수 R₀ < 1 이더라도 초그래프 상의 단일 바이러스 SIS 모델에서 어떤 조건에서 이중 안정성이 발생하는가?
• RQ2 초모서리를 통한 고차원 상호작용은 단일 바이러스 및 이중 바이러스 모델에서 만성 평형점의 존재성과 안정성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 이중 바이러스 시스템에서 공존 평형점이 존재할 수 있는 조건은 무엇이며, 이는 안정한가?
• RQ4 상호작용 함수가 다항식 형태를 초월하여 일반화될 경우 시스템 행동는 어떻게 변화하며, 평형점으로의 수렴은 여전히 성립하는가?
• RQ5 비가역성과 단조성 가정 하에서 시스템의 전역적 동역학을 완전히 기술할 수 있는가? 제어 전략에 대한 함의는 무엇인가?

주요 결과

• 기본 재생수 R₀ < 1 이더라도 고차원 상호작용의 영향으로 인해 초그래프 상의 단일 바이러스 SIS 모델에서 이중 안정성이 발생할 수 있다.
• R₀ > 1 이고 고차원 상호작용 항이 충분히 작을 경우, 유일한 만성 평형점은 전역적으로 안정하다.
• 이중 바이러스 모델에서 공존 평형점은 특정 파라미터 조건에서만 존재하지만, 수치 시뮬레이션은 항상 불안정함을 보여준다.
• 다항식 또는 추상적 상호작용 함수를 사용하는 초그래프 기반 일반화된 SIS 모델의 해는 시스템이 비가역적이고 단조적이라면 항상 어떤 평형점으로 수렴한다.
• 수치 시뮬레이션은 분석 결과를 확인한다: 단일 바이러스 및 이중 바이러스 시스템 모두에서 해는 항상 건강 상태 또는 지배적 만성 상태로 수렴하며, 공존 평형점으로의 수렴은 관측되지 않는다.
• 비가역적이고 단조적인 동역계로 구성된 시스템의 구조는 장기적으로 평형점으로 수렴함을 보장하며, 초그래프 기반 전염병 동역학에 대한 통합적인 이론적 프레임워크를 제공한다.

Figure 3 : The simulation of the single-virus case when the reproduction number equals $0.4578$ . From 3 different random initial conditions, the model either converges to the origin or to an endemic equilibrium.