[논문 리뷰] General sum-connectivity index of trees and unicyclic graphs with fixed maximum degree

Muhammad Kamran Jamil, Ioan Tomescu|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 11.

Graph theory and applications참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 최대 차수 Δ를 가진 n-정점 트리와 유사이클릭 그래프에 대해 일반화된 합접속지수의 최대값을 구하며, 젠슨의 부등식과 간선 변환 기법을 사용한다. 극값 그래프로는 별 모양의 트리와 중심 정점에 경로 및 날개가 달린 유사이클릭 그래프를 규명하고, $-1 \leq \alpha < 0$ 일 때 사이클 $C_n$ 이 유사이클릭 그래프에서 지수를 최대화하며, $n \geq 4$ 일 때 두 번째로 큰 지수를 갖는 그래프도 특성화한다. 본 결과는 실수 지수 $\alpha$를 가진 일반화된 경우로 이전의 합접속지수 연구를 확장한다.

ABSTRACT

The general sum-connectivity index of a graph $G$ is defined as $χ_α(G)=\sum\limits_{uv\in E(G)} {(d(u)+d(v))^α}$, where $d(v)$ denotes the degree of the vertex $v$ in $G$ and $α$ is a real number. In this paper it is deduced the maximum value for the general sum-connectivity index of $n$-vertex trees for $-1.7036\leq α&lt;0$ and of $n$-vertex unicyclic graphs for $-1\le α&lt;0$ respectively, with fixed maximum degree $ riangle $. The corresponding extremal graphs, as well as the $n$-vertex unicyclic graphs with the second maximum general sum-connectivity index for $n\ge 4$ are characterized. This extends the corresponding results by Du, Zhou and Trinajsti\' c [arXiv:1210.5043] about sum-connectivity index.

연구 동기 및 목표

• 고정된 최대 차수 Δ를 가진 n-정점 트리와 유사이클릭 그래프 중 일반화된 합접속지수 $\chi_\alpha(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d(u)+d(v))^\alpha$ 를 최대화하는 그래프를 규명한다.
• 기존의 합접속지수 연구(여기서 $\alpha = -1/2$)를 실수 $\alpha$에 대해 일반화된 지수로 확장한다.
• 차수 제약 조건 하에서 최대 및 두 번째 최대 $\chi_\alpha$ 값을 갖는 극값 그래프를 규명한다.
• $n$, $\Delta$, $\alpha$ 에 대한 $\chi_\alpha(G)$ 의 해석적 경계를 수립하고 등호 조건을 제시한다.
• 사이클 $C_n$ 이 $-1 \leq \alpha < 0$ 일 때 유일하게 최대 $\chi_\alpha$ 를 갖는 유사이클릭 그래프임을 증명하고, 두 번째로 큰 그래프를 특성화한다.

제안 방법

• 음수인 $\alpha$ 에 대해 함수 $x^\alpha$ 의 볼록성/오목성을 분석하기 위해 젠슨의 부등식을 적용하여 간선 기여도를 비교한다.
• 간선 변환 보조정리 사용: 보조정리 2.1은 한 정점에 경로를 집중시키면 $\alpha \geq \alpha_1 \approx -1.7036$ 일 때 $\chi_\alpha$ 를 증가시킨다.
• 보조정리 2.2를 사용하여 차수 2인 정점에서 날개가 달린 경로를 더 작은 차수를 가진 이웃 정점으로 옮기면 $-1 \leq \alpha < 0$ 일 때 $\chi_\alpha$ 가 증가함을 증명한다.
• 극값 그래프 정의: 트리의 경우 $T_{n,\Delta}$ (별 모양으로, 길이 2인 경로 $n-\Delta-1$개와 $2\Delta+1-n$개의 날개 정점), 유사이클릭 그래프의 경우 $U_{n,\Delta}$ (삼각형에 $n-\Delta-1$개의 길이 2 경로와 $2\Delta-n-1$개의 날개 정점).
• 두 경우에 대해 최대 $\chi_\alpha$ 값의 닫힌 형태 표현식 유도: 트리의 경우 $n/2 \leq \Delta \leq n-1$ 및 $2 \leq \Delta \leq (n-1)/2$, 유사이클릭 그래프의 경우 $n+2/2 \leq \Delta \leq n-1$ 및 $2 \leq \Delta \leq (n+1)/2$.
• 함수 $f(x) = (x-2)3^\alpha + x(x+2)^\alpha + (n-2x+2)4^\alpha$ 가 $x \geq 2$ 이고 $-1 \leq \alpha < 0$ 일 때 엄격하게 감소함을 증명하여 $C_n$ 이 최적임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 최대 차수 $\Delta$ 를 가진 n-정점 트리에서 $-1.7036 \leq \alpha < 0$ 일 때 일반화된 합접속지수 $\chi_\alpha(G)$ 의 최대값은 무엇인가요?
• RQ2 고정된 $\Delta$ 를 가진 n-정점 유사이클릭 그래프에서 $-1 \leq \alpha < 0$ 일 때 $\chi_\alpha(G)$ 의 최대값은 무엇인가요?
• RQ3 특정한 그래프 구조 중에서 최대 및 두 번째 최대 $\chi_\alpha$ 값을 갖는 것은 무엇인가요?
• RQ4 경로 집중 및 이동과 같은 간선 변환 규칙이 음수인 $\alpha$ 에 대해 $\chi_\alpha$ 값에 어떤 영향을 미치나요?
• RQ5 사이클 $C_n$ 이 $-1 \leq \alpha < 0$ 일 때 유일하게 $\chi_\alpha$ 를 최대화하는 유사이클릭 그래프인가요? 두 번째로 좋은 그래프는 무엇인가요?

주요 결과

• $n/2 \leq \Delta \leq n-1$ 이고 $\alpha_1 \leq \alpha < 0$ 이며 $\alpha_1 \approx -1.7036$ 일 때, 트리의 최대 $\chi_\alpha$ 는 $((\Delta+2)^\alpha - (\Delta+1)^\alpha + 3^\alpha)(n-\Delta-1) + \Delta(\Delta+1)^\alpha$ 이며, 이는 유일하게 $T_{n,\Delta}$ 에 의해 달성된다.
• $2 \leq \Delta \leq (n-1)/2$ 이고 $\alpha_1 \leq \alpha < 0$ 일 때, 트리의 최대 $\chi_\alpha$ 는 $((\Delta+2)^\alpha + 3^\alpha - 4^\alpha)\Delta + (n-\Delta-1)4^\alpha$ 이며, 이는 유일하게 $T_{n,\Delta}$ 에 의해 달성된다.
• $n+2/2 \leq \Delta \leq n-1$ 이고 $-1 \leq \alpha < 0$ 일 때, 유사이클릭 그래프의 최대 $\chi_\alpha$ 는 $(n-\Delta-1)3^\alpha + (n-\Delta+1)(\Delta+2)^\alpha + (2\Delta-n-1)(\Delta+1)^\alpha + 4^\alpha$ 이며, 이는 유일하게 $U_{n,\Delta}$ 에 의해 달성된다.
• $2 \leq \Delta \leq (n+1)/2$ 이고 $-1 \leq \alpha < 0$ 일 때, 유사이클릭 그래프의 최대 $\chi_\alpha$ 는 $(\Delta-2)3^\alpha + \Delta(\Delta+2)^\alpha + (n-2\Delta+2)4^\alpha$ 이며, 이는 사이클 정점에 길이 2 이상의 경로 $\Delta-2$ 개가 있는 그래프들에 의해 달성된다.
• $-1 \leq \alpha < 0$ 일 때 사이클 $C_n$ 이 모든 n-정점 유사이클릭 그래프 중에서 유일하게 $\chi_\alpha$ 를 최대화하며, 그 값은 $n \cdot 4^\alpha$ 이다.
• $n \geq 4$ 일 때 두 번째로 큰 $\chi_\alpha$ 는 사이클과 한 정점에 연결된 길이 2 이상의 경로를 가진 유사이클릭 그래프에서 달성되며, $n=4$ 일 때는 $2 \cdot 4^\alpha + 2 \cdot 5^\alpha$, $n \geq 5$ 일 때는 $(n-4)4^\alpha + 3 \cdot 5^\alpha + 3^\alpha$ 이다.