[논문 리뷰] General theory of detection and optimality

Gniewomir Sarbicki|arXiv (Cornell University)|2009. 05. 06.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 볼록기하학의 적절한 쌍대원뿔 이론 프레임워크 내에서 얽힘 증거의 일반적인 기하학적 이론과 최적성에 대해 개발한다. Lewenstein 등이 제시한 최적성 기준을 일반화하여, 얽힘 증거가 최적임은 그가 영시킬 제품 벡터들이 힐베르트 공간을 전부 차지할 때 성립함을 보여주지만, 이 조건이 없어도 최적성이 성립하는 반례가 존재함을 밝혀내어, 얽힘 증거 집합의 경계에 더 깊은 기하학적 구조가 존재함을 밝힌다.

ABSTRACT

A general formulation of the problem of detection for a pair of two cones is presented. The special case is the detection of entangled states by entanglement witnesses. Having defined what means "to detect", one can identify the subset of elements, which detect optimally. I will present the properties of this set for a general pair of cones. In particular, I prove the generalization of the theorem of Lewenstein, Krauss, Cirac, Horodecki. The entanglement witness $W$ is optimall if the set of product vectors $\{ϕ\otimes ψ: \langle ϕ\otimes ψ| W | ϕ\otimes ψ angle = 0\}$ spans the whole Hilbert space of a system. There exist optimall entangled witness, which do not fullfill this property. It is closely related to some geometrical properties of the boundary of the set of entanglement witnesses and it is possible to say something more about location of such extraordinary states.

연구 동기 및 목표

• 제품 벡터가 힐베르트 공간을 차지하는 데 기반한 표준 기준을 초월하여, 얽힘 증거의 최적성 개념을 일반화하기 위해.
• 볼록기하학의 적절한 원뿔 이론을 활용하여 탐지 및 최적성의 기하학적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 특히 비분해 가능 증거에 중점을 두어, 얽힘 증거가 최대한 많은 얽힌 상태를 탐지할 수 있는 조건을 조사하기 위해.
• 얽힘 증거 원뿔의 경계 구조가 최적성 결정에 미치는 역할를 명확히 하기 위해.
• 최적성이 제품 벡터의 영집합이 힐베르트 공간을 전부 차지하지 않아도 성립할 수 있는 경우를 규명하여, 표준 기준이 필요 조건이 아님을 도전하기 위해.

제안 방법

• 양성 연산자 원뿔 내에서 분리 가능 상태 원뿔과의 쌍대성 관계로서 탐지를 수학적으로 정의하기 위해.
• 적절한 원뿔 이론(면, 쌍대 원뿔, 생성 집합 포함)을 적용하여 최적 원소를 특성화하기 위해.
• 한 원뿔이 분리 가능 상태 원뿔과의 교차점이 원점 뿐이면 최적임을 조건으로 정의하기 위해.
• 한 증거가 영이 되는 제품 벡터의 원뿔적 덮개(conical hull)를 사용하여, 증거가 전체 쌍대 원뿔을 생성하는지 평가하기 위해.
• 비분해 가능 최적성(nd-최적성)의 개념을 도입하여, 증거와 그 부분 전치가 모두 PPT 얽힌 상태를 최대한 탐지할 수 있어야 한다는 조건을 요구하기 위해.
• 증거가 nd-최적임은 그 증거와 그의 부분 전치가 영이 되는 제품 벡터들이 모두 전체 힐베르트 공간을 차지할 때이고, 그 때에만 성립함을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 기하학적 조건에서 얽힘 증거가 최적인지, 그리고 이는 기댓값이 0이 되는 제품 벡터들이 힐베르트 공간을 차지하는 데 어떻게 관련되는가?
• RQ2 양성 증거가 영이 되는 제품 벡터의 원뿔적 덮개를 통해 최적성 조건을 순수하게 기하학적으로 기술할 수 있는가?
• RQ3 왜 표준적인 차원 차지 조건이 최적성의 필수 조건으로 실패하는가? 그리고 이에 대한 기하학적 특성은 증거 원뿔의 경계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 최적성과 영이 되는 상태의 제품 벡터의 원뿔적 덮개에 포함된 전순위 상태 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 비분해 가능 최적성 이론은 표준 최적성 기준을 어떻게 확장하는가? 그리고 부분 전치는 이 확장에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 Lewenstein, Krauss, Cirac, Horodecki의 정리의 일반화를 증명하여, 얽힘 증거가 최적임은 그 증거의 기댓값이 0이 되는 제품 벡터들의 집합이 전체 힐베르트 공간을 차지할 때이고, 그 때에만 성립함을 보여준다.
• 제품 벡터가 영이 되는 집합이 전체 힐베르트 공간을 차지하지 않아도 최적임이 성립하는 반례가 존재함을 보여주며, 이는 차원 차지 조건이 최적성에 대해 충분조건이지만 필수 조건은 아님을 시사한다.
• 비분해 가능 최적성(nd-최적성)의 경우, 증거가 최적임은 그 증거와 그의 부분 전치가 영이 되는 제품 벡터들이 모두 전체 힐베르트 공간을 차지할 때이고, 그 때에만 성립함을 보여준다.
• 분리 가능 상태 원뿔의 쌍대 원뿔의 내부는 핵심적인 역할을 한다: 증거가 최적임은 그 증거의 영이 되는 상태의 제품 벡터들의 원뿔적 덮개가 전체 쌍대 원뿔을 생성할 때이고, 이는 덮개 안에 전순위 상태가 포함될 때 정확히 발생함을 보여준다.
• 얽힘 증거 원뿔의 경계 기하학은 비단순함을 보이며, 면이 반드시 낮은 차원의 면으로 분해되지 않기 때문에, 차원 차지 조건이 필수 조건이 아니라는 이유를 설명한다.
• 이 이론은 최적 증거의 집합이 증거 원뿔의 경계에 위치할 수 있으며, 그 구조가 증거 원뿔과 분리 가능 상태 및 PPT 상태 원뿔 간의 상호작용과 깊이 연결되어 있음을 드러낸다.