[논문 리뷰] Generalisations of Capparelli's and Primc's identities, II: perfect $A_{n-1}^{(1)}$ crystals and explicit character formulas

Jehanne Dousse, Isaac Konan|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 29.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $A_{n-1}^{(1)}$ 아핀 리 대수에 대한 일반화된 분할 항등식과 크리스탈 기저 이론 사이의 연결을 수립하며, $n^2$-색상 분할 항등식의 차수 조건이 그들의 에너지 함수와 대응됨을 보여준다. 이는 모든 수준-1 기약 최고 가시 모듈에 대해 명시적으로 양수 계수를 가진 비특수화 특성 공식을 유도하기 위해 기반 분할을 도입함으로써 이루어지며, 카크-페터슨 공식을 복원하고 단순 근 $e^{-\alpha_i}$를 이용한 새로운 무한곱 표현을 제공한다.

ABSTRACT

In the first paper of this series, we gave infinite families of coloured partition identities which generalise Primc's and Capparelli's classical identities. In this second paper, we study the representation theoretic consequences of our combinatorial results. First, we show that the difference conditions we defined in our $n^2$-coloured generalisation of Primc's identity, which have a very simple expression, are actually the energy function with values in $\{0,1,2\}$ for the perfect crystal of the tensor product of the vector representation and its dual in $A_{n-1}^{(1)}$. Then we introduce a new type of partitions, grounded partitions, which allows us to retrieve connections between character formulas and partition generating functions without having to perform a specialisation. Finally, using the formulas for the generating functions of our generalised partitions, we recover the Kac-Peterson character formula for the characters of all the irreducible highest weight $A_{n-1}^{(1)}$-modules of level $1$, and give a new character formula as a sum of infinite products with obviously positive coefficients in the generators $e^{- α_i} \ (i \in \{0, \dots , n-1\}),$ where the $α_i$'s are the simple roots.

연구 동기 및 목표

• Capparelli와 Primc의 항등식을 $A_{n-1}^{(1)}$으로 확장하기 위해 $n^2$-색상 분할과 차수 조건을 도입한다.
• 이 차수 조건들이 $A_{n-1}^{(1)}$에서 벡터 표현과 그 쌍대 표현의 텐서곱에 대한 완전한 크리스탈에서의 에너지 함수임을 규명한다.
• 특수화를 피하고 생성 함수와 특성 공식 간의 직접적 연관을 유지하기 위해 기반 분할을 도입한다.
• 모든 수준-1 기약 최고 가시 $A_{n-1}^{(1)}$-모듈에 대해 명시적으로 양수 계수를 가진 비특수화 특성 공식을 도출한다.
• 카크-페터슨 특성 공식을 복원하고 $e^{-\alpha_i}$의 생성자들에 대한 양수 계수를 가진 새로운 무한곱 표현을 제시한다.

제안 방법

• 에너지 함수가 $A_{n-1}^{(1)}$의 $V \otimes V^*$에 대한 완전한 크리스탈에서 유도된 $n^2$-색상 분할과 차수 조건을 정의한다.
• 특수화가 필요 없이 생성 함수의 구조를 유지하기 위해 기반 분할을 도입한다.
• 생성 함수가 기약 최고 가시 모듈의 특성과 연결됨을 보이기 위해 (KMN)2 크리스탈 기저 특성 공식을 사용한다.
• 에너지 함수 계산을 통해 차수 조건이 $V \otimes V^*$의 크리스탈 구조와 일치함을 확인한다.
• 크리스탈 연산자 $\tilde{f}_i$에 대한 명시적 경로 분석을 수행하여 에너지 함수를 계산하고 차수 조건을 검증한다.
• 구간 산술과 특성 함수를 사용하여 에너지 값을 계산하고 공식 $\Delta(a_k b_l; a_{k'} b_{l'})$를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차수 조건이 $A_{n-1}^{(1)}$에서 $V \otimes V^*$의 완전한 크리스탈에서의 에너지 함수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 기반 분할을 사용하여 특수화 없이도 생성 함수의 구조를 유지하면서 특성 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ3 모든 수준-1 기약 최고 가시 $A_{n-1}^{(1)}$-모듈에 대해 명시적으로 양수 계수를 가진 비특수화 특성 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 $V \otimes V^*$의 완전한 크리스탈에서의 에너지 함수가 일반화된 분할 항등식의 조합론을 어떻게 코딩하는가?
• RQ5 카크-페터슨 특성 공식을 복원하고 $e^{-\alpha_i}$의 계수들이 양수인 무한곱의 합으로 재표현할 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 $n^2$-색상 분할 항등식의 차수 조건이 $A_{n-1}^{(1)}$에서 $V \otimes V^*$의 완전한 크리스탈에서 값이 \{0,1,2\}인 에너지 함수와 동치임을 입증하였다.
• 특수화를 피하고 생성 함수와 특성 공식 간의 직접적 연결을 유지하기 위해 기반 분할이 조합론적 도구로 도입되었다.
• 일반화된 분할의 생성 함수는 모든 수준-1 기약 최고 가시 $A_{n-1}^{(1)}$-모듈에 대해 명시적으로 양수 계수를 가진 비특수화 특성 공식을 제공한다.
• 이 분할 이론적 접근을 통해 수준-1 모듈에 대한 카크-페터슨 특성 공식이 복원되었다.
• 단순 근 $\alpha_i$의 생성자 $e^{-\alpha_i}$를 이용한 양수 계수를 가진 무한곱의 합으로서 새로운 특성 공식이 도출되었다.
• 크리스탈 연산자에 대한 경로 분석을 통한 에너지 함수 계산을 통해 차수 조건이 크리스탈 구조와 일관됨을 검증하였다.