[논문 리뷰] Generalised arbitrage-free SVI volatility surfaces

Gaoyue Guo, Antoine Jacquier외 2명|RePEc: Research Papers in Economics|2012. 10. 26.

Stochastic processes and financial applications인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 유연한 파arameterization $ w(k,t) = \theta_t \Psi(k\varphi(\theta_t)) $를 도입함으로써, 정적 아웃오브어더머니 없음 조건(버터플라이 및 캘린더 스프레드)을 만족하는 아웃오브어더머니 없는 SVI 변동성 표면 모델을 일반화한다. $ \Psi $ 및 $ \varphi $에 대한 필요 및 충분 조건을 유도하고, 미분 가능하지 않은 임의의 변동성 표면으로의 이론 확장을 다루며, 기존 SVI 프레임워크를 초월하는 새로운 유형의 비-SVI 아웃오브어더머니 없는 표면을 구축한다. 주요 기여는 원래 SVI 프레임워크를 초월하는 제약 조건이 없는 아웃오브어더머니 없는 변동성 표면의 더 넓은 클래스를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

In this article we propose a generalisation of the recent work of Gatheral and Jacquier on explicit arbitrage-free parameterisations of implied volatility surfaces. We also discuss extensively the notion of arbitrage freeness and Roger Lee's moment formula using the recent analysis by Roper. We further exhibit an arbitrage-free volatility surface different from Gatheral's SVI parameterisation.

연구 동기 및 목표

• 변동성 표면를 $ w(k,t) = \theta_t \Psi(k\varphi(\theta_t)) $로 일반화한 아웃오브어더머니 없는 SVI 프레임워크를 전체 표면의 더 유연한 모델링이 가능하도록 확장한다.
• $ \Psi $ 및 $ \varphi $에 대한 필요 및 충분 조건을 도출하여 버터플라이 및 캘린더 스프레드 아웃오브어더머니 없음을 보장한다.
• 대칭적 경우(ρ=0)에서 $ \varphi $ 함수의 정확한 집합을 규명함으로써 Gatheral-Jacquier 클래스에 대한 제약 조건이 없는 파arameterization을 달성한다.
• 비미분 가능하거나 조각별로 정의된 변동성 함수로의 이론 확장을 통해, 아웃오브어더머니 없는 조건을 유지하면서도 비연속적 또는 비미분 가능한 표면을 허용한다.
• 원래 SVI 또는 Gatheral-Jacquier 프레임워크로는 커버되지 않는, 명시적인 비-SVI 아웃오브어더머니 없는 변동성 표면의 예를 제시함으로써, 새로운 프레임워크가 원래 SVI보다 엄밀히 더 일반적임을 보여준다.

제안 방법

• 일반화된 변동성 표면 파arameterization을 제안: $ w(k,t) = \theta_t \Psi(k\varphi(\theta_t)) $, 여기서 $ \theta_t $는 마켓 인근 총 변동성이고 $ \varphi $는 양수 함수이다.
• 아웃오브어더머니 없는 조건을 특성화하기 위해 연산자 $ \mathcal{L} $를 사용하여 $ \mathcal{L}w \geq 0 $ 이 분포적 의미에서 성립함을 통해 $ \Psi $ 및 $ \varphi $에 대한 필요 및 충분 조건을 도출한다.
• Roper의 프레임워크와 Roger Lee의 모멘트 공식을 적용하여 $ \Psi $의 점 渐진적 행동과 기저 분포의 유한 모멘트 존재성 간의 관계를 규명한다.
• 비연속적 $ \Psi $를 다루기 위해 분포 도함수를 사용하며, 특히 제2도함수에 델타 함수를 허용함으로써 변동성 표면의 무게 중심에서의 꺾임을 수용한다.
• 예를 들어 $ \nu \in (1,2) $에 대해 $ \Psi_\nu(z) $를 구성하고, 비연속점에서도 $ \mathcal{L}w $의 양성으로 아웃오브어더머니 없는 조건을 검증한다.
• 버터플라이 아웃오브어더머니를 방지하기 위해 $ (u\varphi(u))^{2} \leq 4 $ 조건이 충분함을 보이며, 기저 분포의 꼬리 행동에 대한 모멘트 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수 $ \Psi $ 및 $ \varphi $에 대해 어떤 일반적 조건이 변동성 표면 $ w(k,t) = \theta_t \Psi(k\varphi(\theta_t)) $가 정적 아웃오브어더머니 없음을 보장하는가?
• RQ2 원래 SVI 파arameterization을 초월하여 비연속적 또는 비유리적 형태의 아웃오브어더머니 없는 변동성 표면 클래스를 확장할 수 있는가?
• RQ3 대칭적 경우(ρ=0)에서 아웃오브어더머니 없는 조건을 유지하는 데 필요한 $ \varphi $ 함수의 정확한 집합은 무엇인가?
• RQ4 아웃오브어더머니 없는 변동성 표면의 점 渐진적 선형 행동을 고려할 때, $ \mathcal{L} $ 연산자를 사용하여 Roger Lee의 모멘트 공식을 해석적으로 유도할 수 있는가?
• RQ5 원래 SVI 또는 Gatheral-Jacquier 프레임워크로는 커버되지 않는, 명시적인 비-SVI 아웃오브어더머니 없는 변동성 표면의 예를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 분포적 의미에서 $ \mathcal{L}w \geq 0 $ 조건이 일반화된 파arameterization에서 정적 아웃오브어더머니 없음을 보장하는 필수 및 필요 조건임을 입증한다.
• 대칭적 경우(ρ=0)에서, $ \Psi $가 볼록이면서 특정 점 渐진적 및 도함수 조건을 만족해야 한다는 조건을 통해 $ \varphi $ 함수의 정확한 집합이 특성화된다.
• 대칭적 경우에서 $ \varphi $ 함수의 전체 집합을 규명함으로써, 이전 결과를 확장한 제약 조건이 없는 Gatheral-Jacquier 클래스의 파arameterization을 달성한다.
• 이 프레임워크는 비연속적 변동성 표면을 허용한다: $ \nu \in (1,2) $일 때 $ \Psi_\nu(z) $는 제2도함수에 델타 함수를 포함하지만, 결과적으로도 아웃오브어더머니 없는 표면을 유지한다.
• 명시적인 비-SVI 아웃오브어더머니 없는 표면 예를 구성하였으며, 예를 들어 $ \Psi(z) = \frac{(z+1)e^{-z}-1}{1-e^{-z}} $는 SVI 형태가 아니지만 모든 아웃오브어더머니 조건을 만족한다.
• 아웃오브어더머니 없는 변동성 표면의 점 渐진적 선형 행동을 고려할 때, 분석적 방법을 사용하여 Roger Lee의 모멘트 공식을 엄밀히 유도하였으며, $ \sup\{m \geq 0: \mathbb{E}[X^{1+m}] < \infty\} = \frac{1}{2}\left(\frac{\alpha}{4} - 1 + \frac{1}{\alpha}\right) $ 라는 결과를 도출하였다. 여기서 $ \alpha = \lim_{k \to \infty} v'(k) $이다.