[논문 리뷰] Generalised Brownian bridges: examples

Xue-Mei Li|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 27.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 21인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변하는 드리프트를 가진 SDE로 정의된 일반화된 브라운 운동 다리 과정을 조사한다. $ c \neq 1 $일 경우, 결과적으로 유도된 측도 $ \nu^{(c)} $ 는 고전적 브라운 운동 다리 측도 $ \nu^{(1)} $ 와는 비어 있음을 보여주며, $ c > \frac{1}{2} $ 일 때는 둘 다 동일한 Cameron-Martin 공간 $ H_{0,0} $ 을 공유한다. 또한 Novikov 유형의 적분 조건을 만족하는 변형을 통해 등가 측도의 예를 구성한다.

ABSTRACT

We observe that the probability distribution of the Brownian motion with drift $-c \frac x {1-t}$ where $c ot =1$ is singular with respect to that of the classical Brownian bridge measure on $[0,1]$, while their Cameron-Martin spaces are equal set-wise if and only if $c> \frac 12$, providing also examples of exponential martingales on $[0,1)$ not extendable to a continuous martingale on $[0,1]$. Other examples of generalised Brownian bridges are also studied.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 드리프트를 가진 SDE에 의해 유도된 일반화된 브라운 운동 다리 측도의 등가성 또는 비등가성을 분석하기.
• 같은 법을 가질 수는 없지만, 서로 다른 법을 가짐에도 불구하고 동일한 Cameron-Martin 공간을 공유하는 조건을 조사하기.
• 고전적 브라운 운동 다리 측도와 등가인 일반화된 브라운 운동 다리의 명시적 예를 구성하기.
• 경로 공간 상에서 연속적인 마틴갈레로 확장되지 않는 $[0,1)$ 상에서의 지수 마틴갈레의 존재를 비등가 측도를 통해 탐색하기.
• 비고전적 브라운 운동 다리 측도의 맥락에서 Cameron-Martin 정리와 Girsanov 유사 변환의 역할을 명확히 하기.

제안 방법

• 구간 $[0,1)$ 상에서 $ dz_t = dB_t - \frac{c}{1-t} z_t \, dt $ 의 SDE 를 분석하여, $ C_{0,0}([0,1]; \mathbb{R}^n) $ 상의 가우시안 측도 $ \nu^{(c)} $ 를 생성한다.
• 측도 $ \nu^{(c)} $ 와 $ \nu^{(1)} $ 의 Cameron-Martin 공간을 비교하여, 이들이 집합으로 일치하는 것은 $ c > \frac{1}{2} $ 일 때에만 성립함을 보인다.
• Cameron-Martin 정리와 Hilbert-Schmidt 연산자 이론을 활용하여, 연산자 $ R^{-1/2} R_c R^{-1/2} $ 의 분석을 통해 등가성을 평가한다. 여기서 $ R $ 과 $ R_c $ 는 공분산 연산자이다.
• Novikov 기준을 적용하여 Radon-Nikodym 도함수 $ \frac{d\nu_2}{d\nu^{(1)}} $ 의 균일 적분 가능성을 검증함으로써, 유계 드리프트 변형 하에서의 등가성을 확보한다.
• 밀도 과정 $ \exp\left( \int_0^t \langle dB_s, \frac{f(s,z_s)}{(1-s)^\delta} \rangle - \frac{1}{2} \int_0^t \frac{|f(s,z_s)|^2}{(1-s)^{2\delta}} ds \right) $ 을 유도하며, $ t \to 1 $ 일 때 이 과정이 $ L^1 $ 수렴을 보임을 보인다.
• Fernique 정리를 활용하여 $ \sup_{t \leq 1} |z_t|^2 $ 의 지수 적분 가능성을 확립함으로써, Novikov 조건을 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드리프트 $ -\frac{c}{1-t} z_t $ 를 가진 일반화된 브라운 운동 다리의 법이 고전적 브라운 운동 다리 측도와 등가가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 서로 다른 법을 가짐에도 불구하고, 두 일반화된 다리 측도가 동일한 Cameron-Martin 공간을 공유하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 이러한 다리와 관련된 $[0,1)$ 상의 지수 마틴갈레가 $[0,1]$ 상에서 연속적으로 확장되지 않을 수 있으며, 이는 Girsanov 변환에 대해 어떤 의미를 갖는가?
• RQ4 시간에 따라 변하는 드리프트 $ f(t,x) $ 가 어떤 조건을 만족해야 결과 측도가 고전적 다리 측도와 등가로 유지되는가?
• RQ5 공분산 연산자 및 그 역의 구조는 경로 공간 상의 가우시안 측도의 등가성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• SDE $ dz_t = dB_t - \frac{c}{1-t} z_t dt $ 로 유도된 측도 $ \nu^{(c)} $ 는 $ c \in (0,1) \cup (1,\infty) $ 일 때, 고전적 브라운 운동 다리 측도 $ \nu^{(1)} $ 와는 비어 있다. 이는 $ c > \frac{1}{2} $ 일 때는 둘 다 동일한 Cameron-Martin 공간 $ H_{0,0} $ 을 공유하나, 법은 서로 다름을 의미한다.
• 측도 $ \nu^{(c)} $ 의 Cameron-Martin 공간이 $ H_{0,0} $ 인 것은 $ c > \frac{1}{2} $ 일 때에만 성립하며, $ c \leq \frac{1}{2} $ 일 경우 공간이 다름을 보인다.
• $ c \neq 1 $ 일 경우, 연산자 $ A^{-1} R_c (A^*)^{-1} = I + K $ 의 커널 $ q_c(s,t) $ 는 $ c = 1 $ 가 아닐 경우 로그 특이성으로 인해 $ L^2 $ 적분 가능하지 않으며, 이는 비등가성을 의미한다.
• $ \delta < \frac{1}{2} $ 이고 $ |f(t,x)|^2 \leq c|x|^2 + c $, $ c^2 \leq \frac{1}{4}(1 - 2\delta) $ 를 만족하는 변형 SDE $ dx_t = dB_t - \frac{x_t}{1-t} dt + \frac{f(t,x_t)}{(1-t)^\delta} dt $ 는 측도 $ \nu_2 $ 를 유도하며, 이는 $ \nu^{(1)} $ 와 등가이다.
• Radon-Nikodym 도함수 $ \frac{d\nu_2}{d\nu^{(1)}} $ 는 $[0,1)$ 상에서 균일 적분 가능한 마틴갈레이며, $ L^1 $ 수렴을 보이며, 이는 $ \nu_2 $ 와 $ \nu^{(1)} $ 의 등가성을 보장한다.
• 논문은 $ c \neq 1 $ 인 비등가 측도 $ \nu^{(c)} $ 에 기반한 $[0,1)$ 상에서 정의된 지수 마틴갈레의 예를 제공하며, 이들은 $[0,1]$ 상에서 연속적으로 확장되지 않음을 보인다.