[논문 리뷰] Generalised Hermite functions and their applications in Spectral Approximations

Changtao Sheng, Suna Ma외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 13.

Numerical methods in engineering인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 임의의 차원에서 일반화된 에르미트 함수(GHFs)와 수반 일반화된 에르미트 함수(A-GHFs)를 도입하며, 가중 $L^2$ 및 분수 스펙트럴 내적에 대해 그들 간의 직교성을 확립한다. 주요 기여는 A-GHFs를 사용한 스펙트럴-갈레르킨 방법으로, 적분 분수 라플라스 연산자 $(-\Delta)^s$에 대해 정규화된 강성 행렬을 얻을 수 있게 하여, 이 도전적인 연산자를 포함하는 PDE의 효율적이고 정확한 스펙트럴 근사를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In 1939, G. Szego first introduced a family of generalised Hermite polynomials (GHPs) as a generalisation of usual Hermite polynomials, which are orthogonal with respect to the weight function $|x|^{2\mu} \e^{-x^2},\mu>-\frac 12$ on the whole line. Since then, there have been a few works on the study of their properties, but no any on their applications to numerical solutions of partial differential equations (PDEs). The main purposes of this paper are twofold. The first is to construct the generalised Hermite polynomials and generalised Hermite functions (GHFs) in arbitrary $d$ dimensions, which are orthogonal with respect to $|\bx|^{2\mu} \e^{-|\bx|^2}$ and $|\bx |^{2\mu}$ in $\mathbb R^d,$ respectively. We then define a family of adjoint generalised Hermite functions (A-GHFs) upon GHFs, which has two appealing properties: (i) the Fourier transform maps A-GHF to the corresponding GHF; and (ii) A-GHFs are orthogonal with respect to the inner product $[u,v]_{H^s(\mathbb R^d)}=((-\Delta)^{\frac s 2}u, (-\Delta)^{\frac s 2} v )_{\mathbb R^d}$ associated with the integral fractional Laplacian. The second purpose is to explore their applications in spectral approximations of PDEs. As a remarkable consequence of the fractional Sobolev-type orthogonality, the spectral-Galerkin method using A-GHFs as basis functions leads to an identity stiffness matrix for the integral fractional Laplacian operator $(-\Delta)^s,$ which is known to be notoriously difficult and expensive to discretise. ....

연구 동기 및 목표

• 중량 $|\mathbf{x}|^{2\mu} e^{-|\mathbf{x}|^2}$ 와 $|\mathbf{x}|^{2\mu}$ 에 대해 각각 $d$-차원 공간에서 일반화된 에르미트 함수(GHFs)와 수반 일반화된 에르미트 함수(A-GHFs)를 구성하기.
• 수식적 변환에 의해 A-GHFs가 그에 해당하는 GHFs로 매핑됨을 보여주며, 핵심적인 이중성 성질을 확보하기.
• A-GHFs가 분수 스펙트럴 내적 $[u,v]_{H^s(\mathbb{R}^d)}$ 에 대해 직교함을 증명하여, 적분 분수 라플라스 연산자와의 연결 고리를 확립하기.
• 특히 도전적인 $(-\Delta)^s$ 연산자를 포함한 PDE에 대해 A-GHFs를 스펙트럴-갈레르킨 방법에 적용하기.
• A-GHFs를 사용할 경우 $(-\Delta)^s$에 대한 강성 행렬이 정규화된 단위행렬이 되며, 이는 수치적 해법의 단순화를 가져옴을 보여주기.

제안 방법

• 일반화된 에르미트 다항식(GHPs)은 $\mathbb{R}$ 위에서 중량 $|x|^{2\mu} e^{-x^2}$ 에 대해 정의된 직교 다항식으로 구성되며, 이를 $d$ 차원으로 확장한다.
• GHFs는 $\psi_{\alpha}^{(\mu)}(\mathbf{x}) = H_{\alpha}^{(\mu)}(\mathbf{x}) e^{-|\mathbf{x}|^2/2}$ 로 정의되며, 여기서 $H_{\alpha}^{(\mu)}$ 는 $d$-차원 GHPs 이다.
• A-GHFs는 각 A-GHF가 대응하는 GHF로 매핑되는 이중 기저로 도입된다.
• A-GHFs가 분수 스펙트럴 내적 $[u,v]_{H^s(\mathbb{R}^d)} = ((-\Delta)^{s/2}u, (-\Delta)^{s/2}v)_{L^2(\mathbb{R}^d)}$ 에 대해 직교함을 보이며, 이는 $H^s$-기반 변분 공식화에의 응용을 가능하게 한다.
• A-GHFs를 기저 함수로 사용한 스펙트럴-갈레르킨 방법을 제안하여, 연산자 $(-\Delta)^s$ 에 대해 강성 행렬이 정확히 단위행렬이 됨을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 에르미트 함수는 임의의 차원에서 중량 $|\mathbf{x}|^{2\mu} e^{-|\mathbf{x}|^2}$ 에 대해 체계적으로 구성될 수 있는가?
• RQ2 수반 일반화된 에르미트 함수(A-GHFs)는 존재하는가? 특히, 푸리에 변환이 각 A-GHF를 대응하는 GHF로 매핑하는가?
• RQ3 A-GHFs가 직교하는 자연스러운 내적은 존재하는가? 특히 분수 스펙트럴 공간 $H^s(\mathbb{R}^d)$ 와 관련된 내적은?
• RQ4 A-GHFs를 사용하여 적분 분수 라플라스 연산자 $(-\Delta)^s$ 에 대해 대각 또는 단위 강성 행렬을 갖는 스펙트럴-갈레르킨 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ5 이러한 강성 행렬의 성질이 $(-\Delta)^s$ 를 포함하는 PDE의 스펙트럴 근사의 효율성과 정확성에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• A-GHFs는 분수 스펙트럴 내적 $[u,v]_{H^s(\mathbb{R}^d)}$ 에 대해 직교함을 보이며, 이는 $H^s$-기반 PDE에 대한 자연스러운 변분 프레임워크를 제공한다.
• 푸리에 변환이 각 A-GHF를 그에 해당하는 GHF로 매핑함을 보여주며, 분석 및 계산을 단순화하는 스펙트럴 이중성을 확립한다.
• A-GHFs를 기저 함수로 사용한 스펙트럴-갈레르킨 방법은 적분 분수 라플라스 연산자 $(-\Delta)^s$ 에 대해 정규화된 단위 강성 행렬을 생성하며, 고비용의 행렬 조립 과정이 필요 없어진다.
• 이 정규화된 강성 행렬 덕분에 $(-\Delta)^s$ 를 포함하는 PDE의 매우 효율적이고 정확한 스펙트럴 근사가 가능해지며, 기존 방법으로는 해석이 어려운 문제들에 대해서도 적용 가능하다.
• 이 방법은 고전적 에르미트 함수를 가중치가 있는, 분수-스펙트럴 공간 설정으로 일반화하여, 비국소 PDE에 대한 새로운 스펙트럴 방법을 가능하게 한다.
• 이 방법은 임의의 차원 $d$ 에 적용 가능하며, 일반화된 중량 $|\mathbf{x}|^{2\mu}$ 에 대해 직교성과 이중성 성질이 유지된다.