[논문 리뷰] Generalised Pattern Avoidance

Anders Claesson|ArXiv.org|2000. 11. 28.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 7인용 수 47

한 줄 요약

이 논문은 인접한 문자가 순열에서도 인접해야 하는 일반화된 순열 패턴을 도입하여 고전적 패턴 회피를 확장한다. 길이 3인 패턴 중 정확히 한 쌍의 인접 문자를 가진 단일 패턴을 회피하는 순열의 완전한 수를 제시하며, 이는 카탈란 수, 모츠킨 경로, 그리고 치환에 관련된 조합 구조와 연결된다. 또한 비중첩 분할과의 이분할을 보이는 새로운 유형인 단조 분할을 도입한다.

ABSTRACT

Recently, Babson and Steingrimsson have introduced generalised permutation patterns that allow the requirement that two adjacent letters in a pattern must be adjacent in the permutation. We consider pattern avoidance for such patterns, and give a complete solution for the number of permutations avoiding any single pattern of length three with exactly one adjacent pair of letters. We also give some results for the number of permutations avoiding two different patterns. Relations are exhibited to several well studied combinatorial structures, such as set partitions, Dyck paths, Motzkin paths, and involutions. Furthermore, a new class of set partitions, called monotone partitions, is defined and shown to be in one-to-one correspondence with non-overlapping partitions.

연구 동기 및 목표

• 고전적 패턴 회피를 일반화된 패턴을 도입함으로써 확장하여, 패턴 내 인접한 문자가 순열에서도 인접해야 한다는 조건을 부여한다.
• 길이 3인 일반화된 패턴 중 정확히 한 쌍의 인접 문자를 가진 단일 패턴을 회피하는 순열의 수를 세는 것.
• 패턴을 회피하는 순열과 다이크 경로, 모츠킨 경로, 치환과 같은 잘 알려진 조합 구조 간의 이분할을 설정하는 것.
• 새로운 유형의 집합 분할인 단조 분할을 정의하고, 비중첩 분할과의 이분할을 보여주는 것.

제안 방법

• 알파벳의 선형 순서를 기반으로 하되, 인접한 문자 사이에 하이픈을 선택적으로 삽입하여 순열에서의 인접성 조건을 강제하는 방식으로 일반화된 패턴을 정의한다.
• 가장 큰 원소의 위치에 기반한 순열의 재귀적 분해를 통해 생성함수와 점화식을 유도한다.
• 구체적인 사상 예를 통해 패턴을 회피하는 순열과 조합 구조 간의 이분할을 설정한다. 예를 들어, (a-bc)와 (ac-b)를 모두 회피하는 순열은 모츠킨 경로로 사상된다.
• 비단위 블록이 최소값과 최대값 기준으로 모두 증가하는 순서로 정렬될 수 있는 집합 분할을 단조 분할로 정의한다.
• (a-bc)와 (ab-c)를 모두 회피하는 순열의 수가 Bessel 수 B*n과 같음을 증명하며, 이는 단조 분할과의 대응을 통해 유도된다.
• 기존의 다이크 경로와 왼쪽에서 오른쪽으로 최소값의 분포에 대한 결과를 활용하여, 다양한 패턴을 회피하는 클래스 간의 통계 분포가 동일함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 길이 n인 순열 중 정확히 한 쌍의 인접 문자를 가진 길이 3의 일반화된 패턴을 하나만 회피하는 순열은 총 몇 개인가?
• RQ2 특정한 일반화된 패턴을 회피하는 순열과 어떤 조합 구조가 이분할 관계에 있는가?
• RQ3 비중첩 분할과의 이분할을 보장하는 새로운 집합 분할 유형인 단조 분할을 정의하고, 이를 증명할 수 있는가?
• RQ4 (b-ac) 패턴을 회피하는 순열에서 왼쪽에서 오른쪽으로 최소값의 분포는 어떻게 되며, 이는 다이크 경로와 어떤 관련이 있는가?
• RQ5 인접성 조건을 요구하는 일반화된 패턴은 제한된 순열의 수와 구조에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 하이픈이 없는 (a-bc) 또는 (a-bc) 패턴을 회피하는 길이 n의 순열 수는 제1 벨 수 Bn과 같으며, 이는 [n]의 집합 분할과 대응된다.
• (b-ac) 패턴을 회피하는 순열 수는 제n 카탈란 수 Cn과 같으며, 이는 길이 2n인 다이크 경로와 대응된다.
• (a-bc)와 (ab-c)를 모두 회피하는 순열 수는 제n Bessel 수 B*n과 같으며, 이는 [n]의 비중첩 분할과 대응된다.
• (a-bc)와 (ac-b)를 모두 회피하는 순열 수는 제n 모츠킨 수 Mn과 같으며, 이는 길이 n인 모츠킨 경로와 대응된다.
• (a-bc)와 (a-cb)를 모두 회피하는 순열 수는 대칭군 Sn 내의 치환 수 In과 같다.
• 새로운 유형의 집합 분할인 단조 분할이 정의되었으며, 이는 비중첩 분할과 일대일 대응이 됨을 증명되었다.