[논문 리뷰] Generalising the scattered property of subspaces

Bence Csajbók, Giuseppe Marino외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 25.

Coding theory and cryptography참고 문헌 32인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 유한 기하학에서 산산이 흩어진 부분공간의 개념을 일반화하여 h-산산이 흩어진 부분공간을 도입한다. h-산산이 흩어진 부분공간이란, r차원의 Fqn-벡터 공간에서 Fq-부분공간으로서, 모든 h차원의 Fqn-부분공간과의 교차가 최대 h차원의 Fq-부분공간이 되는 것을 의미한다. h > 1일 때, h-산산이 흩어진 부분공간의 차원에 대해 상한 dimFq U ≤ rn/(h+1)을 증명하고, 이 상한을 달성하는 예시를 구성하며, 이중 공간에서 최대 h-산산이 흩어진 부분공간과 최대 (n−h−2)-산산이 흩어진 부분공간 사이의 이중성 관계를 수립한다. 이 작업은 기존의 1-산산이 흩어진 부분공간과 MRD 코드에 대한 결과를 확장하며, 초평면과의 교차 수와 관련된 선형 집합의 동치류를 완전히 특성화한다.

ABSTRACT

Let $V$ be an $r$-dimensional $\mathbb{F}_{q^n}$-vector space. We call an $\mathbb{F}_q$-subspace $U$ of $V$ $h$-scattered if $U$ meets the $h$-dimensional $\mathbb{F}_{q^n}$-subspaces of $V$ in $\mathbb{F}_q$-subspaces of dimension at most $h$. In 2000 Blokhuis and Lavrauw proved that $\dim_{\mathbb{F}_q} U \leq rn/2$ when $U$ is $1$-scattered. Subspaces attaining this bound have been investigated intensively because of their relations with projective two-weight codes and strongly regular graphs. MRD-codes with a maximum idealiser have also been linked to $rn/2$-dimensional $1$-scattered subspaces and to $n$-dimensional $(r-1)$-scattered subspaces. In this paper we prove the upper bound $rn/(h+1)$ for the dimension of $h$-scattered subspaces, $h>1$, and construct examples with this dimension. We study their intersection numbers with hyperplanes, introduce a duality relation among them, and study the equivalence problem of the corresponding linear sets.

연구 동기 및 목표

• h > 1에 대해 Fqn-벡터 공간에서 h-산산이 흩어진 부분공간의 개념을 일반화하기.
• h-산산이 흩어진 부분공간의 최대 가능한 차원을 결정하기.
• 이론적 차원 상한을 달성하는 h-산산이 흩어진 부분공간의 명시적 예시를 구성하기.
• 이러한 부분공간이 사영 공간에서 초평면과 어떻게 교차하는지 분석하기.
• 최대 h-산산이 흩어진 부분공간과 최대 (n−h−2)-산산이 흩어진 부분공간 사이의 이중성 관계를 이중 공간에서 수립하기.
• h-산산이 흩어진 부분공간과 관련된 선형 집합의 동치 문제를 조사하기.

제안 방법

• h-산산이 흩어진 부분공간의 개념을 도입: r차원의 Fqn-벡터 공간 V의 Fq-부분공간 U로서, 모든 h차원의 Fqn-부분공간과의 교차가 최대 h차원의 Fq-부분공간이 되는 것을 정의한다.
• h > 1일 때, h-산산이 흩어진 부분공간의 차원이 dimFq U ≤ rn/(h+1)를 만족하며, 등호는 U가 최대 h-산산이 흩어진 부분공간일 때에만 성립함을 증명한다.
• 초평면에서 U와의 교차 차원이 주어진 (k+1)-점 튜플의 수를 이중 세기 방법으로 다루며, 가우스 이항계수와 q-급수 항등식을 활용한다.
• q-이항정리와 칼리츠의 q-이항역공식을 적용하여 교차 크기의 합을 다루고, 특정 선형 조합이 0이 되는 것을 증명한다.
• 최대 h-산산이 흩어진 부분공간이 V(r, qn)에서 차원 rn/(h+1)을 가지며, 이중 공간 V(rn/(h+1)−r, qn)에서 최대 (n−h−2)-산산이 흩어진 부분공간과의 이중성 관계를 수립한다.
• PΓL(r, qn)에 대한 h-산산이 흩어진 부분공간이 정의하는 선형 집합의 동치를 분석하여, h > 1일 때 선형 집합의 동치가 ΓL(r, qn)-동치와 일치함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 h > 1일 때, r차원의 Fqn-벡터 공간에서 h-산산이 흩어진 부분공간의 최대 가능한 차원은 무엇인가?
• RQ2 h-산산이 흩어진 부분공간의 차원에 대한 상한 rn/(h+1)은 달성 가능한가? 만약 그렇다면 어떤 조건에서 달성되는가?
• RQ3 h-산산이 흩어진 부분공간은 PG(r−1, qn)의 초평면과 어떻게 교차하며, 이러한 교차의 가능한 차원은 무엇인가?
• RQ4 최대 h-산산이 흩어진 부분공간과 최대 (n−h−2)-산산이 흩어진 부분공간 사이에 이중성 관계가 존재하는가?
• RQ5 h-산산이 흩어진 부분공간과 관련된 선형 집합이 PΓL(r, qn)에 대해 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ6 h-산산이 흩어진 부분공간의 동치는 그와 관련된 선형 집합의 동치와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• V(r, qn)에서 h-산산이 흩어진 부분공간의 최대 차원은 rn/(h+1)로 상한이 주어지며, 이 상한은 h+1가 r를 나누면 정확히 달성된다.
• h+1가 r를 나누면, 차원 rn/(h+1)의 최대 h-산산이 흩어진 부분공간의 예시가 존재하며, 이는 Fqn^r에서 특정 Fq-선형 부분공간을 통해 구성된다.
• 최대 h-산산이 흩어진 부분공간과 임의의 초평면의 교차 차원은 rn/(h+1) − n에서 rn/(h+1) − n + h 사이의 값을 가진다.
• 최대 h-산산이 흩어진 부분공간과 최대 (n−h−2)-산산이 흩어진 부분공간 사이의 이중성 관계가 V(r, qn)와 V(rn/(h+1)−r, qn)에서 수립되며, 이는 h+1가 r를 나누지 않아도 구성 가능하게 한다.
• h > 1일 때, 두 h-산산이 흩어진 부분공간이 PΓL(r, qn)-동치인 선형 집합을 정의할 조건은 오직 ΓL(r, qn)-동치일 때에만 성립하며, 이는 이전의 MRD 코드와 선형 집합에 대한 결과를 확장한다.
• 증명은 가우스 이항계수와 q-급수 항등식을 활용한 새로운 이중 세기 방법에 기반하며, 핵심 합 A가 0이 되는 것으로 끝나며, 이는 원하는 차원 상한을 유도한다.