[논문 리뷰] Generalization of an example of Hartshorne concerning local cohomology

Michael Hellus, Juergen Stueckrad|ArXiv.org|2007. 03. 06.

Commutative Algebra and Its Applications참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Hartshorne의 고전적인 비아르틴(local cohomology) 모듈의 일반화를 통해, $ R = k[[X_1,\dots,X_n]] $ 이고 $ n \geq 4 $일 때, $ I = (X_1,\dots,X_{n-2})R $ 이며 $ p \in (X_{n-1},X_n)R $ 이며 소원소일 경우, 국소코homology 모듈 $ H^{n-2}_I(R/pR) $ 는 아르틴이 아님을 증명한다. 증명은 Matlis 쌍대성을 사용하여 이중 모듈이 무한히 많은 관련 소수를 가짐을 보여, 아르틴 모듈이 요구하는 유한생성 조건을 위반함으로써 이루어진다.

ABSTRACT

We prove the following generalization of an example of Hartshorne: Let k be a field, n=4, R = k[[X1,...,Xn]], I = (X1,...,Xn-2)R and p\in R a prime element such that p\in(Xn-1,Xn)R. Then H^{n-2}_I (R/pR) is not artinian.

연구 동기 및 목표

• Hartshorne의 비아르틴 국소코homology 모듈의 예제를 고차원으로 일반화하기.
• 체 위의 멱급수환에서 $ H^{n-2}_I(R/pR) $ 가 언제 아르틴이 아니게 되는지 규명하기.
• Matlis 쌍대성을 국소코homology 모듈의 구조 분석 및 비아르틴 성질 탐지 도구로 사용하기.
• Marley와 Vassilev의 Hartshorne 예제 일반화와 대비하여, 국소코homology 모듈이 아르틴이 아니게 되는 조건를 비교하기.

제안 방법

• 국소코homology 모듈 $ H^{n-2}_I(R/pR) $ 에 Matlis 쌍대함수 $ D(-) = \operatorname{Hom}_R(-, E_R(R/\mathfrak{m})) $ 를 적용하여 문제를 $ D(H^{n-2}_I(R)) $ 의 연구로 환원한다.
• Hartshorne-Lichtenbaum 소멸 정리를 사용하여 $ H^{n-2}_I(R/p) \neq 0 $ 가 되는 조건을 규명한다. 이는 정확히 $ I + p $ 가 $ \mathfrak{m} $-primary일 때 성립한다.
• 만약 $ p \in (X_{n-1}, X_n)R $ 이면, $ D(H^{n-2}_I(R)) $ 는 $ p $ 를 포함하는 높이 2인 무한히 많은 관련 소수를 가짐을 보인다.
• $ \operatorname{Hom}_R(R/pR, D(H^{n-2}_I(R))) $ 가 유한생성되지 않음을 증명하여, $ H^{n-2}_I(R/pR) $ 가 아르틴이 아니라는 것을 유추한다.
• $ I_m = (X_n^l + X_1^m g, X_{n-1} - X_1^m f)R $ 을 포함하는 높이 2인 소수 $ p_m $ 의 가족을 구성하여, $ D $ 에서 무한히 많은 관련 소수를 보여준다.
• 함수 $ D(-) $ 의 정확성과 $ H^{n-2}_I(-) $ 의 오른쪽 정확성(右-정확성)을 활용하여 $ D(H^{n-2}_I(R/pR)) $ 와 $ \operatorname{Hom}_R(R/pR, D(H^{n-2}_I(R))) $ 를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체 위의 멱급수환 $ R = k[[X_1,\dots,X_n]] $, $ n \geq 4 $, 그리고 $ p \in (X_{n-1},X_n)R $ 인 소원소에 대해, $ H^{n-2}_I(R/pR) $ 가 언제 아르틴이 아니게 되는가?
• RQ2 Matlis 쌍대성은 국소코homology 모듈의 비아르틴 성질을 탐지하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ3 Hartshorne의 예제는 고차원 멱급수환으로 일반화될 수 있는가? 이 경우 유사한 비아르틴 행동이 유지되는가?
• RQ4 $ D(H^{n-2}_I(R)) $ 의 관련 소수의 수와 $ H^{n-2}_I(R/pR) $ 의 아르틴 성질 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 이 논문의 조건는 Marley와 Vassilev의 Hartshorne 예제 일반화와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 모든 $ n \geq 4 $ 에 대해, $ R = k[[X_1,\dots,X_n]] $, $ I = (X_1,\dots,X_{n-2})R $, 그리고 $ p \in (X_{n-1},X_n)R $ 인 소원소에 대해 $ H^{n-2}_I(R/pR) $ 는 아르틴이 아니다.
• 만약 $ p \in (X_{n-1},X_n)R $ 이면, Matlis 쌍대 $ D(H^{n-2}_I(R)) $ 는 $ p $ 를 포함하는 높이 2인 무한히 많은 관련 소수를 가진다.
• $ \operatorname{Hom}_R(R/pR, D(H^{n-2}_I(R))) $ 는 유한생성되지 않으며, 이는 $ H^{n-2}_I(R/pR) $ 가 아르틴이 될 수 없음을 의미한다.
• $ \operatorname{Supp}_R(H^{n-2}_I(R/pR)) \subseteq \{\mathfrak{m}\} $ 인 지지 조건이 성립하지만, 소클(socle)이 유한생성되지 않아 아르틴 조건을 위반한다.
• 이 구성은 $ I_m $ 을 포함하는 서로 다른 높이 2인 소수 $ p_m \in \operatorname{Ass}_R(D(H^{n-2}_I(R))) $ 를 무한히 생성하며, 관련 소수의 유한성과는 반대로 무한성을 증명한다.
• 체 $ k $ 가 유한할 경우에도 결과는 성립한다. 무한한 관련 소수의 가족은 $ I_m $ 의 구성에서 $ m \in \mathbb{N}^+ $ 의 변화에 의해 유도되기 때문이다.