[논문 리뷰] Generalization of Cox functor

Isamu Iwanari|arXiv (Cornell University)|2007. 05. 01.

Advanced Topics in Algebra인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비특이 케이스를 넘어서는 특이적인 경우에도 적용 가능한, 토릭 스택에 대한 코크스의 함자적 구성 방식을 일반화한다. 이를 위해 스킴 위의 (∆, ∆₀)-집합을 도입함으로써, 고전적 코크스 함자를 비특이 케이스를 넘어서 확장한다. 핵심 결과는 이 일반화된 함자가 스택 팬 (∆, ∆₀)에 관련된 토릭 스택을 표현한다는 것이다. 이는 원래의 함자가 특이적인 경우에 실패하는 문제를 해결한다.

ABSTRACT

In [1], given a fan ∆ and a scheme Y, Cox defines notions of ∆-collections on Y and equivalences between them. Then he showed that the functor F ∆ : Y ↦ → {∆-collections on Y} / ∼ represents the toric variety X ∆ if ∆ is non-singular (we shall call F ∆ Cox functor). This successfully generalizes Grothendieck’s definition of a projective space P n, and it is closely related to the quotient presentation. As mentioned in [1, page 261], unfortunately, if ∆ is singular the functor F ∆ fails to represent the toric variety X∆, and it was proposed to consider the general case. The purpose of this short note is to generalize the notion of Cox functor. If one work not in classical toric geometry but in toric stacks ([4], [5]), one has a natural generalization of the main result of [1]. We refer to [5] for basic definitions concerning toric stacks and stacky fans. Set N = Z d and M = HomZ(N, Z). Let 〈•, • 〉 be the dual pairing. Let ( ∆ ⊂ N ⊗Z R, ∆ 0) be a stacky fan and Y a scheme. Denote by ∆(1) the set of rays. Denote by nρ the generator of ∆ 0 on ρ (cf. [5, section 2]). Finally, let ∆max denote the set of maximal cones in ∆. Definition 1.1. A (∆, ∆ 0)-collection on Y is a triple ({Lρ}ρ∈∆(1), {uρ}ρ∈∆(1), {cm: ⊗ρL ⊗〈m,nρ〉 ρ

연구 동기 및 목표

• 비특이 케이스를 넘어서는 특이적인 팬에 대해 코크스의 토릭 다양체에 대한 함자적 구성 방식을 토릭 스택으로 확장하기.
• ∆가 특이적일 경우 고전적 코크스 함자가 X∆를 표현하지 못하는 데서 비롯되는 문제를 해결하기.
• 스택 팬과 (∆, ∆₀)-집합을 이용해 코크스 함자의 자연스러운 일반화를 정의하기.
• 일반화된 함자가 스택 팬 (∆, ∆₀)에 관련된 토릭 스택을 표현한다는 것을 확립하기.

제안 방법

• 스킴 Y 위의 (∆, ∆₀)-집합의 개념을 도입한다. 이는 선다발 {Lρ}ρ∈∆(1), 절단들 {uρ}ρ∈∆(1), 그리고 M에 속한 m에 대응하는 사상 cm로 구성된다.
• 선사의 기저 nρ와 ∆₀로부터 유도된 자료를 가진 스택 팬 (∆ ⊂ N ⊗Z R, ∆₀)을 사용하여 집합의 구조를 정의한다.
• M × N 위의 쌍대쌍대 〈·, ·〉를 사용하여 〈m, nρ〉를 통해 선다발의 텐서 거듭제곱을 정의한다.
• 고전적 코크스 함자를 일반화한 함자 F∆,∆₀: Y ↦ → { (∆, ∆₀)-집합들 on Y } / ∼를 구성한다.
• 특히 ∆₀가 광선에서 스택의 구조를 코딩하는 데 기여하는 바를 포함하여, [5]에서 제시된 토릭 스택의 기본 정의에 의존한다.
• 이 함자가 스택 팬 (∆, ∆₀)에 관련된 토릭 스택을 표현한다는 것을 보이며, 이는 비특이 팬에 대한 고전적 결과를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 코크스 함자를 특이적인 토릭 다양체를 다룰 수 있도록 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 함자적 구성에 의해 토릭 스택을 표현하기 위해 어떤 구조가 필요한가?
• RQ3 스택 팬 (∆, ∆₀)는 어떻게 자연스럽게 스킴 위의 ∆-집합의 개념을 확장하는가?
• RQ4 스택 데이터 ∆₀는 일반화된 코크스 함자를 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 일반화된 함자는 특이적인 경우에도 여전히 관련된 토릭 스택을 표현하는가?

주요 결과

• 일반화된 함자 F∆,∆₀: Y ↦ → { (∆, ∆₀)-집합들 on Y } / ∼ 는 스택 팬 (∆, ∆₀)에 관련된 토릭 스택을 표현한다.
• 이 구성은 원래의 함자가 X∆를 표현하지 못하는 비특이적이지 않은 경우를 넘어서 고전적 코크스 함자를 성공적으로 확장한다.
• 스택 데이터 ∆₀의 사용은 광선에서의 스택의 구조를 코딩할 수 있도록 잘 정의된 일반화를 가능하게 한다.
• 함자는 선다발 {Lρ}, 절단들 {uρ}, 그리고 ⊗ρ Lρ⊗〈m,nρ〉 → OY 형태의 사상 cm를 통해 구성되며, 일관된 체계를 이룬다.
• 이 표현은 토릭 스택의 맥락에서 성립하며, 그로텐디크의 사영 공간 구성 방식을 일반화한다.
• 결과적으로, ∆가 특이적일 경우에도 성립하는 고전적 케이스와 유사한 함자적 프레임워크를 토릭 스택에 확립한다.