[논문 리뷰] Generalization of nonlinear control for nonlinear discrete systems

Dmitriy Dmitrishin, Alex Stokolos외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 29.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비선형 이산 시스템에서 불안정한 주기 궤도를 안정화하기 위해 비선형 피드백와 반선형 지연 피드백 제어의 새로운 볼록 조합을 제안한다. O. Morgul의 반선형 피드백을 비선형 제어와 통합함으로써, 필요한 사전 역사 길이를 줄이고 수렴 속도를 높여, 수정된 반복적 방법을 통해 대수방정식의 효율적 해법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The problem of stabilization of unstable periodic orbits of discrete nonlinear systems is considered in the article. A new generalization of the delayed feedback, which solves the stabilization problem, is proposed. The feedback is represented as a convex combination of nonlinear feedback and semilinear feedback introduced by O. Morgul. In this article, the O. Morgul method was transferred from the scalar case to the vector one. It is shown that the additional introduction of the semilinear feedback into the equation makes it possible to significantly reduce the length of the prehistory used in the control and to increase the rate of convergence of the perturbed solutions to periodic ones. As an application of the proposed stabilization scheme, a possible computational algorithm for finding solutions of systems of algebraic equations is given. The numerical simulation results are presented.

연구 동기 및 목표

• 비선형 이산 시스템에서 사전에 알려지지 않은 불안정한 주기 궤도를 안정화하는 데 도전하는 것.
• O. Morgul의 스칼라 반선형 지연 피드백 제어를 벡터 경우로 확장하는 것.
• 지연 피드백 제어에서 필요로 하는 사전 역사 길이를 줄이고 수렴 속도를 향상시키는 것.
• 비선형 및 반선형 피드백을 통합한 통합 제어 프레임워크를 개발하여 안정성과 내성 향상시키는 것.
• 제안된 안정화 방법을 대수방정식 시스템을 푸는 반복 알고리즘에 적용하는 것.

제안 방법

• 제어는 비선형 피드백와 반선형 피드백(O. Morgul의 방법)의 볼록 조합으로 공식화되어 하이브리드 제어 전략을 가능하게 한다.
• T-사이클에 대한 닫힌 루프 시스템의 특성 다항식이 유도되며, 이는 비선형 및 반선형 경우를 일반화하는 간단한 구조를 드러낸다.
• 안정성 분석을 위해 복소기하학적 분석이 사용되며, 다항식 및 유리 함수 사상으로 국소 점근적 안정성에 필요한 충분한 조건을 유도한다.
• 행렬 역행렬 계산에 적용되어, 사전 역사 길이가 N인 지연 피드백을 사용하는 반복적 방법을 수정함으로써 표준 방법보다 수렴 성능을 향상시킨다.
• 수치 시뮬레이션은 3×3 행렬 역행렬 문제에 대해 N=7 및 γ=0.743를 사용하여 ε₂₅₀ ≈ 3×10⁻⁹의 결과를 도출함으로써 방법의 타당성을 검증한다.
• Morgul의 원래 방법(N=1)과 비교하여 수렴 속도가 현저히 빠르며, 새로운 방법은 250단계 내에 필요한 정확도에 도달하는 반면, 원래 방법은 800단계가 소요된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 및 반선형 피드백을 조합한 하이브리드 제어 전략이 비선형 이산 시스템에서 불안정한 주기 궤도를 개별 방법보다 더 효과적으로 안정화시킬 수 있는가?
• RQ2 지연 피드백 제어에서 반선형 피드백의 포함이 사전 역사 길이에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 통합 제어 프레임워크에서 특성 다항식의 구조는 어떠한가? 그리고 안정성 분석에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 제안된 제어 방법은 대수방정식 시스템을 풀기 위한 반복 방법에 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ5 수정된 반복적 방법의 수렴 속도는 Morgul의 원래 방법과 같은 기존 방법보다 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 비선형 및 반선형 피드백의 제안된 볼록 조합은 지연 피드백 제어에서 요구되는 사전 역사 길이를 크게 줄인다.
• 수렴 속도가 향상된다: 3×3 행렬 역행렬 문제에서 250회 반복 후 ε₂₅₀ ≈ 3×10⁻⁹를 달성하며, Morgul의 원래 방법은 800회 반복이 소요된다.
• 닫힌 루프 시스템의 특성 다항식은 비선형 및 반선형 제어 사례를 일반화하는 간단한 구조를 가진다.
• 복소해석학을 활용한 기하학적 안정성 기준이 유도되어 T-사이클의 국소 점근적 안정성에 필요한 정확한 조건을 도출한다.
• 이 방법은 반복적 행렬 역행렬 계산에 성공적으로 적용되어 계산 복잡도를 증가시키지 않고도 수렴 성능을 향상시킨다.
• 수치 결과는 통합 제어가 비선형 및 반선형 피드백 단독 사용보다 수렴 속도와 내성 면에서 뛰어나다는 것을 확인한다.