[논문 리뷰] Generalization of regular solutions of Einstein's gravity equations and Maxwell's equations for point-like charge

Yi-Shi Duan|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 19.

Geophysics and Gravity Measurements인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 점입자 전하에 대해 아인슈타인 중력 이론과 맥스웰 방정식의 정규 해를 일반화하여, $ r=0 $ 에서 유한성과 정규성을 보장하는 임의의 함수 $ f(r) $ 를 도입한다. 이는 총 질량이 유한하고 전하에 비례하며, 고전적 전자 반지름 $ r_0 = e^2/(mc^2) $ 이 자연스럽게 유도된다는 것을 보여준다. 이로써 특이성이 없는 중력과 전자기 기여의 질량이 통합된다.

ABSTRACT

In the Born, Infeld, Bopp, Podolsky and Dirac theories the electron mass is finite (or zero), but gravity effects have not been considered. Shirokov and Fisher showed that in studying of origin of elemental particle masses we can not neglect these effects. Gravity field plays an essential role in interpretation of particle mass. It has been shown that for point-like charge the general solution of gravity and electromagnetic (EM) equations that contains arbitrary function $μ(r)$, can in special case of this function, describe gravity and EM fields that do not have singularities in full range of $r$ from $0$ to $\infty$. In this paper we are trying to find more general solution.

연구 동기 및 목표

• 기존의 특정 경우를 초월하여 점입자 전하에 대한 아인슈타인 중력 이론과 맥스웰 방정식의 정규 해를 일반화하는 것.
• metric와 물리적 양이 $ r=0 $ 에서 유한하고 비특이적이 되도록 보장하여 곡률과 장의 특이성 문제를 해결하는 것.
• 중력과 전자기 기여의 합으로서 입자의 총 질량에 대해 유한하고 자기 일관성 있는 표현을 도출하는 것.
• 임의의 함수 $ f(r) $ 가 $ r=0 $ 에서 특정 경계 조건을 만족할 경우 이론적으로 고전적 전자 반지름이 자연스럽게 유도된다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• metric 성분의 정규성을 보장하기 위해 $ \mu = -2\ln f(r) $ 를 통해 임의의 비특이 함수 $ f(r) $ 를 도입한다.
• $ f(r) $ 와 그 도함수 $ f'(r) $ 를 통해 metric 성분 $ g_{11}, g_{22}, g_{33}, g_{44} $ 를 유도하며, $ r=0 $ 에서의 유한성을 확보한다.
• 에너지-모멘타 텐서 $ T^i_k $ 와 중력 에너지-모멘타 양자 텐서를 사용하여 통합을 통해 총 질량을 계산한다.
• $ r=0 $ 에서의 경계 조건을 적용: $ f(0)=0 $, $ f'(0)=\alpha \neq 0 $, $ f''(0)=\beta \neq 0 $ 로써 metric 성분의 정규성을 보장한다.
• $ m = 2\int \sqrt{-g} T^4_4 \, d\tau $ 라는 질량 적분을 평가하여 $ m = 4\pi \varepsilon^2 \alpha $ 를 도출하며, 이때 $ \alpha $ 는 고전적 전자 반지름과 관련된다.
• 특히 $ \alpha = 1/r_0 $ 일 경우 고전적 전자 반지름 $ r_0 = e^2/(mc^2) $ 이 자연스럽게 나타나 이론이 실험적 입자 매개변수와 연결됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점입자 전하에 대해 아인슈타인 및 맥스웰 방정식의 일반적인 정규 해를 $ r=0 $ 에서 특이성이 없는 방식으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 임의의 함수 $ f(r) $ 를 도입함으로써 metric와 물리적 장의 유한성과 정규성은 어떻게 영향을 받는가?
• RQ3 시스템의 총 질량은 얼마이며, 중력과 전자기 기여로 어떻게 구성되는가?
• RQ4 적절한 $ f(r) $ 의 경계 조건을 만족할 경우 고전적 전자 반지름이 이론적으로 자연스럽게 나타나는가?
• RQ5 점입자 전하일지라도 추가적인 수작업 질량 보정 없이도 질량이 유한하고 비영일 수 있는가?

주요 결과

• $ f(r) $ 가 $ f(0)=0 $, $ f'(0)=\alpha \neq 0 $, $ f''(0)=\beta \neq 0 $ 를 만족할 경우 metric 성분이 $ r=0 $ 에서 유한하고 비특이적이며, 정규적인 시공간 기하학을 보장한다.
• 입자의 총 질량은 유한하며 $ m = 4\pi \varepsilon^2 \alpha $ 로 주어지며, $ \alpha $ 는 원점 근처에서 $ f(r) $ 의 행동에 의해 결정된다.
• 특히 $ \alpha = 1/r_0 $ 일 경우 고전적 전자 반지름 $ r_0 = e^2/(mc^2) $ 이 자연스럽게 나타나 이론적 프레임워크가 실험적 입자 매개변수와 연결된다.
• 에너지-모멘타 텐서와 metric 성분은 모두 $ f(r) $ 를 통해 명시적으로 표현되며, 경계 조건을 만족하는 모든 매끄럽고 비특이적인 $ f(r) $ 에 대해 이론이 정규성을 유지함을 보여준다.
• 질량이 중력과 전자기장 기여의 합임이 증명되었으며, 추가적인 질량 항이나 보정이 필요하지 않다.
• 이론은 아인슈타인과 쇼로코프의 이전 결과를 일반화하여, 유한성과 정규성을 유지하면서 더 넓은 범위의 함수 $ f(r) $ 에 대해 적용 가능하게 한다.