[논문 리뷰] Generalization of Selberg's 3/16 Theorem and Affine Sieve

Jean Bourgain, Alex Gamburd외 1명|ArXiv.org|2009. 12. 26.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 16인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 SL₂(ℤ)의 무한차수 준동형 부분군에 대해 셀버그의 3/16 정리를 일반화하여 관련 하이퍼볼릭 곡면 위의 라플라스-베르트라미 연산자에 대해 균일한 스펙트럼 간격을 확립한다. 이 결과를 아르키메데스 노름을 갖는 애파인 라인어 체르에 적용하여 궤도 내 격자점 수를 세는 데 있어서 날카운 오차 항을 도출하며, 조약-밀도 부분군 위의 다항식 수열에 대한 체르에서 최적의 경계를 확보한다.

ABSTRACT

A celebrated theorem of Selberg states that for congruence subgroups of SL(2,Z) there are no exceptional eigenvalues below 3/16. We prove a generalization of Selberg's theorem for infinite index "congruence" subgroups of SL(2,Z). Consequently we obtain sharp upper bounds in the affine linear sieve, where in contrast to \cite{BGS} we use an archimedean norm to order the elements.

연구 동기 및 목표

• SL₂(ℤ)의 유한생성되고 비원소적인 부분군 Λ에 대해, 극한집합의 하우스도르프 차원 δ(Λ) > 1/2 인 경우 셀버그의 3/16 정리에 의한 스펙트럼 간격을 일반화한다.
• 이러한 부분군의 준동형 부분군 Λ(q)에 대해 균일한 스펙트럼 간격을 확립하여 λ₁(Λ(q)) ≥ λ₀(Λ(q)) + ε 이며, 어떤 ε > 0 에 대해 성립함을 보인다.
• 하우스도르프 차원 ≤ 1/2 인 부분군에 대해, 라플라스 연산자의 리졸베이트에 대한 공진기 없는 영역을 증명하여 스펙트럼 간격을 L² 스펙트럼 외부로 확장한다.
• 스펙트럼 결과를 아르키메데스 노름을 갖는 애파인 라인어 체르에 적용하여 조약-밀도 부분군 궤도 내 다항방정식 해를 세는 데 날카운 오차 항을 도출한다.
• 이러한 궤도 위에서 다항식 노름으로 정의된 수열에 대해 조합적 체르의 공리들(레벨 분포, 곱셈 함수 행동, 체르 차원)을 검증한다.

제안 방법

• 하이퍼볼릭 곡면 위의 Lax-Phillips 이론과 스펙트럼 이론을 사용하여 스펙트럼 간격을 극한집합의 하우스도르프 차원 δ(Λ)와 연결한다.
• L²-평탄화 보조정리와 역학적 방법을 적용하여 측도의 컨볼루션을 제어함으로써 δ ≤ 1/2 인 경우에 대해 공진기 없는 영역을 증명한다.
• Fell의 유도 연속성에 의해 스펙트럼 간격과 카일리 그래프의 확산 간의 동치성을 확립한다.
• 강력한 근사법과 Goursat의 보조정리를 사용하여 모듈로 d의 환원을 분석함으로써, 제곱 자유수 d에 대해 Λ → Λ_d 가 전사임을 보장한다.
• Lang-Weil 정리를 적용하여 f(γ) ≡ 0 mod d 를 만족하는 해의 수를 추정함으로써 β(d) = |Λ_d^f| / |Λ_d| 를 얻으며, β(p) = t(f)/p + O(p^{-3/2}) 의 점 渐진적 행동을 도출한다.
• 스펙트럼 간격과 정리 1.3 및 정리 1.5의 오차 항을 사용하여 산술 등차수열에 대한 합의 나머지 항을 유계화함으로써 체르 공리 (A₀), (A₁), (A₂) 를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 셀버그의 3/16 정리에 의한 스펙트럼 간격은 δ(Λ) > 1/2 인 SL₂(ℤ)의 무한차수 준동형 부분군으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 제곱 자유수 q에 대해, λ₁(Λ(q)) ≥ λ₀(Λ(q)) + ε 인 조건을 만족하는 균일한 스펙트럼 간격이 유지되는가?
• RQ3 하우스도르프 차원 δ(Λ) ≤ 1/2 인 부분군에 대해, 리졸베이트 R_X(q)(s) 가 Re(s) = δ 를 초월하는 공진기 없는 영역을 갖는가?
• RQ4 무한체적 하이퍼볼릭 곡면의 스펙트럼 자료를 이용하여 아르키메데스 노름을 갖는 애파인 라인어 체르를 수행할 수 있는가?
• RQ5 조약-밀도 부분군 궤도 위에서 다항식 노름의 수를 세는 함수가 최적의 오차 항을 갖는 조합적 체르 공리들을 만족하는가?

주요 결과

• 유한생성된 Λ ≤ SL₂(ℤ) 에 대해 δ(Λ) > 1/2 이면, 모든 제곱 자유수 q ≥ 1 에 대해 ε(Λ) > 0 가 존재하여 λ₁(Λ(q)) ≥ λ₀(Λ(q)) + ε 이다.
• |γ| ≤ T 이고 γ ≡ g mod q 인 γ ∈ Λ 에 대한 수를 세는 함수는 |{γ ∈ Λ : |γ| ≤ T, γ ≡ g mod q}| = c_Λ T^{2δ} / |SL₂(q)| + O(q³ T^{2δ - ε₁}) 를 만족하며, 여기서 ε₁ > 0 은 Λ 에 따라 달라진다.
• δ(Λ) ≤ 1/2 이면, 리졸베이트 R_X(q)(s) 는 Re(s) > δ - ε min(1, 1/log(1 + |Im s|)) 에서 해석적이며, s = δ 에서 단순극을 갖는다.
• 아르키메데스 노름을 갖는 애파인 체르에서 수열 a_n(T) = # {γ ∈ Λ : |γ| ≤ T, |f(γ)| = n} 의 오차 항은 O(X^{1 - 1/(2δ log log X)} + d^{C+2} X^{1 - ε₁/(2δ)}) 로 유계화되며, 여기서 X = ∑ a_n(T) 이다.
• 수열 a_n(T) 의 체르 차원 t(f) 는 f 의 기약 인수의 개수와 같으며, 최적의 수준 분포 D ≤ X^τ (τ < 2δ / ((C+3)ε₁)) 를 갖는다. 이에 따라 체르 공리 (A₀), (A₁), (A₂) 가 최적의 조건에서 만족된다.
• 조합적 체르는 S(A, P_z) ≍ X / (log X)^t 를 만족하며, 여기서 z = D^{1/s} 이고 s > 9t 이다. 이는 아르키메데스 노름을 갖는 애파인 체르 설정에서 최적의 상한과 하한을 확인한다.