[논문 리뷰] Generalization of the multiplicative and additive compounds of square matrices and contraction in the Hausdorff dimension

Chengshuai Wu, Raz Pines외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 24.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 46인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 정수계수의 곱셈형 및 덧셈형 복합행렬을 실수계수 $\alpha$ 복합행렬으로 일반화하여 비선형 동역계에서 연속적인 수축 성질 스펙트럼을 가능하게 한다. 주요 기여는 $\alpha$-수축 시스템의 도입으로, 하우스도르프 차원이 $\alpha$를 초과하는 집합의 동역학 수축을 가능하게 하여 고전적 수축 이론을 확장하고 분수차원, 안정성 및 제어 설계를 위한 통합 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

The $k$ multiplicative and $k$ additive compounds of a matrix play an important role in geometry, multi-linear algebra, the asymptotic analysis of nonlinear dynamical systems, and in bounding the Hausdorff dimension of fractal sets. These compounds are defined for integer values of $k$. Here, we introduce generalizations called the $α$ multiplicative and $α$ additive compounds of a square matrix, with $α$ real. We study the properties of these new compounds and demonstrate an application in the context of the Douady and Oesterlé Theorem. This leads to a generalization of contracting systems to $α$ contracting systems, with $α$ real. Roughly speaking, the dynamics of such systems contracts any set with Hausdorff dimension larger than $α$. For $α=1$ they reduce to standard contracting systems.

연구 동기 및 목표

• 정수 $k$에 대해서만 정의된 $k$-계수 수축 시스템 이론을 실수 $\alpha \in \mathbb{R}$로 연속적인 매개변수로 확장하기 위해.
• 정사각행렬의 $\alpha$ 곱셈형 및 $\alpha$ 덧셈형 복합행렬을 정의하고 분석하여 표준 $k$-복합행렬을 일반화하기 위해.
• 실수계수 복합행렬을 사용하여 두데이와 올스터레 정리의 분수차원 경계에 대한 기하학적 연속적 해석을 제공하기 위해.
• 하우스도르프 차원에 따라 집합을 수축시키는 새로운 시스템 클래스인 $\alpha$-수축 시스템을 개발하여 기존의 이진 수축 개념을 일반화하기 위해.
• 이산적 $k$-계수 선택 대신 연속적인 수축 수준을 허용하여 제어 설계 및 최적화에 새로운 응용을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 분수계수 미행렬을 사용한 정수 $k$-곱셈형 복합행렬의 연속적 보간을 통해 행렬 $A$의 $\alpha$ 곱셈형 복합행렬을 정의한다.
• 분수계수 테일러 전개를 통한 일반화를 통해 $\varepsilon = 0$에서의 도함수로 $\alpha$ 덧셈형 복합행렬을 정의하며, 이는 표준 $k$-덧셈형 복합행렬을 일반화한다.
• 일반화된 복합행렬을 사용하여 $\alpha$-자코비안 $J_f^{[\alpha]}(x)$를 정의한다: $\alpha = k+s$, $s \in (0,1)$일 때 $J_f^{[\alpha]} = (1-s)J_f^{[k]} + sJ_f^{[k+1]}$의 볼록조합으로서.
• $\alpha$-자코비안에 $\mu_1$-노름(최대 행합)을 적용하여 수축성을 평가한다: $\mu_1(J_f^{[\alpha]}) < 0$이면 시스템은 $\alpha$-수축적이다.
• 3차원 로렌츠 유사 시스템에 대해 방법을 적용하여, $b < 1/2$일 경우 $s > \frac{1-2b}{1+b}$이면 시스템이 $\alpha = 2+s$-수축적임을 보였다.
• $c < 0$인 $g(x) = \text{diag}(c,c,0)x$를 사용한 부분상태 제어기를 설계하고, $\mu_1(J_g^{[\alpha]}) < s(b+1) + 2b - 1$ 조건을 유도하여 $\alpha$-수축적 행동을 보장하는 $c$의 조건을 도출하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 $k$-곱셈형 및 $k$-덧셈형 복합행렬은 정수 외 실수 $\alpha$로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 동역계에서의 수축 개념은 이산적 $k$-계수에서 연속적 $\alpha$-계수 프레임워크로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ3 일반화된 복합행렬은 분수차원의 안착점과 관련하여 두데이와 올스터레 정리와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 $\alpha$-수축 시스템은 분수차원 유사 동역학을 보이는 시스템에 대해 잘 정렬된 행동(예: 평형점 수렴)을 보장하는 제어기를 설계하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 $\alpha$가 정수계수가 아닐 경우 $\alpha$-자코비안의 $\mu_1$-노름은 수축 수준을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $\alpha$-곱셈형 및 $\alpha$-덧셈형 복합행렬은 정수 $k$-복합행렬의 보간을 통해 실수 $\alpha$에 대해 잘 정의되며, 카우치-바인 공식 및 선형성과 같은 주요 대수적 성질을 유지한다.
• $\alpha = k + s$이고 $s \in (0,1)$일 경우 $\alpha$-자코비안은 볼록조합 $J_f^{[\alpha]} = (1-s)J_f^{[k]} + sJ_f^{[k+1]}$로 정의되며, 이는 연속적인 수축 분석을 가능하게 한다.
• 만약 $\mu_1(J_f^{[\alpha]}) < 0$이면 시스템은 $\alpha$-수축적이다. 이는 하우스도르프 차원이 $\alpha$를 초과하는 모든 집합이 시간이 지남에 따라 수축됨을 의미한다.
• 3차원 시스템에서 $b < 1/2$일 경우 $s > \frac{1-2b}{1+b}$이면 시스템은 $2+s$-수축적임을 보였다.
• $c < 0$인 제어기 $g(x) = \text{diag}(c,c,0)x$는 $c < \frac{s(b+1) + 2b - 1}{1+s}$이면 $\alpha$-수축적 행동을 보장하며, 이는 안정적인 폐쇄루프 동역학을 위한 설계 규칙을 제공한다.
• 이 프레임워크는 고전적 수축 이론을 일반화한다: $\alpha = 1$일 경우 $\alpha$-수축 시스템은 표준 1계수 수축 시스템으로 축소되며, $\alpha = 2$일 경우 혼돈 안착점과 한주기 운동을 배제한다.