[논문 리뷰] Generalization of van Lambalgen's theorem and blind randomness for conditional probability

Hayato Takahashi|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 29.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 7인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 조건부 확률의 계산 가능성 조건을 필요로 하지 않고, 맹목적(헤로디쿠스식) 랜덤성에 대해 반 람발렌의 정리를 일반화한다. 이 정리의 타당성을 위한 충분조건을 규명하고, 맹목적 랜덤성을 분류하기 위한 가능도 비율 검정을 도입하며, 조건부 확률이 계산 가능하지 않은 경우에도 정리가 성립하는 반례를 제시함으로써 이전 연구에서의 모호함을 해결한다.

ABSTRACT

Generalization of the Lambalgen's theorem is studied with the notion of Hippocratic (blind) randomness without assuming computability of conditional probabilities. In [Bauwence 2014], a counter-example for the generalization of Lambalgen's theorem is shown when the conditional probability is not computable. In this paper, it is shown that (i) finiteness of martingale for blind randomness, (ii) classification of two blind randomness by likelihood ratio test, (iii) sufficient conditions for the generalization of the Lambalgen's theorem, and (iv) an example that satisfies the Lambalgen's theorem but the conditional probabilities are not computable for all random parameters.

연구 동기 및 목표

• 조건부 확률의 계산 가능성 조건 없이 반 람발렌의 정리를 맹목적 랜덤성으로 확장하는 것.
• 이전 일반화에서의 일관성 문제를 해결하기 위해 정리의 타당성을 위한 충분조건을 규명하는 것.
• 가능도 비율 검정을 통해 맹목적 랜덤성을 분류하는 것.
• 모든 조건부 확률이 랜덤 매개변수에 대해 계산 가능하지 않은 경우에도 반 람발렌의 정리가 성립하는 예를 구성하는 것.

제안 방법

• 조건부 확률 공간에서의 알고리즘 랜덤성과 관련된 마팅게일 유한성의 관점에서 맹목적 랜덤성을 분석한다.
• 다양한 종류의 맹목적 랜덤성을 구분하기 위해 가능도 비율 검정을 적용한다.
• 조건부 확률이 계산 가능하지 않은 경우에도 반 람발렌의 정리 일반화가 성립할 수 있는 충분조건을 규명한다.
• 바우엔스(2014)의 반례를 기반으로 하여 조건부 확률이 계산 가능하지 않더라도 정리가 반드시 성립하지 않는 것은 아님을 보여준다.
• 알고리즘 랜덤성 이론과 마팅게일 기반 정의를 활용하여 비계산 가능한 설정에서 맹목적 랜덤성을 형식화한다.
• 조건부 알고리즘 랜덤성에 관한 이전 연구 결과를 통합하여 반 람발렌의 정리의 적용 범위를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조건부 확률이 계산 가능하지 않은 경우, 반 람발렌의 정리는 맹목적 랜덤성으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 가능도 비율 검정을 통해 맹목적 랜덤성을 분류할 수 있으며, 이 분류는 알고리즘 랜덤성과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 비계산 가능한 조건부 확률 설정에서 일반화된 반 람발렌의 정리의 타당성을 위한 충분조건은 무엇인가?
• RQ4 모든 조건부 확률이 무작위 매개변수에 대해 비계산 가능할 경우에도 반 람발렌의 정리가 성립할 수 있는가?
• RQ5 계산 가능한 조건부 확률이 없는 상황에서 마팅게일의 유한성은 맹목적 랜덤성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 조건부 확률이 계산 가능하지 않은 경우에도 마팅게일의 유한성은 맹목적 랜덤성의 핵심 기준이 된다.
• 가능도 비율 검정은 다양한 종류의 맹목적 랜덤성을 효과적으로 분류할 수 있으며, 무작위성 클래스를 구분하는 실용적 도구를 제공한다.
• 조건부 확률의 계산 가능성 없이도 일반화된 반 람발렌의 정리가 성립할 수 있는 충분조건가 규명되었다.
• 모든 조건부 확률이 랜덤 매개변수에 대해 비계산 가능함에도 불구하고 반 람발렌의 정리가 성립하는 구체적인 예가 구성되었다.
• 이전 연구에서의 핵심 모호함을 해결하기 위해, 조건부 확률이 비계산 가능하더라도 반 람발렌의 정리 일반화가 반드시 무효가 되는 것은 아님을 보여주었다.