[논문 리뷰] Generalization of Zak's phase for lattice models with non-centered inversion symmetry axis

A. M. Marques, R. G. Dias|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 19.

Random Matrices and Applications인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 단일 격자 모델에서 대칭축이 격자 세포의 중심에 있지 않은 경우의 Zak 위상의 일반화를 다룬다. 표준 Zak 위상은 대칭 연산자의 k에 의존하는 행렬 원소로 인해 양자화가 손상되며, k에 의존하는 보정 항을 포함함으로써 π-양자화된 값을 복원하는 수정된 표현을 제안한다. 이는 축이 중심에 있지 않은 경우에도 위상 불변량을 정의할 수 있게 한다.

ABSTRACT

We show how the presence of inversion symmetry in a one-dimensional (1D) lattice model is not a sufficient condition for a quantized Zak's phase. This is only the case when the inversion axis is at the center of the unit cell. When the inversion axis is not at the center, the modified inversion operator within the unit cell gains a k-dependence in some of its matrix elements which adds a correction term to the usual Zak's phase expression1, making it in general deviate from its quantized value. A general expression that recovers a quantized Zak's phase in a lattice model with a unit cell of arbitrary size and arbitrarily positioned inversion axis is provided in this paper, which relates the quantized value with the eigenvalues of a modified parity operator at the inversion invariant momenta.

연구 동기 및 목표

• 대칭축이 격자 세포의 중심에 있지 않은 경우 표준 Zak 위상이 양자화되지 않는 이유를 해결하기 위해.
• 비양자화의 원인이 단위 세포 수준의 대칭 연산자에서 k에 의존하는 행렬 원소에 기인함을 규명하기 위해.
• 임의의 단위 세포 크기와 대칭축 위치에 대해 유효한 일반화된 양자화된 Zak 위상 표현을 유도하기 위해.
• 대칭점에서 수정된 파리티 연산자를 정의하여 올바른 양자화된 Zak 위상을 예측하기 위해.
• 축이 중심에 있지 않은 1차원 시스템, 특히 준1차원 및 리본 시스템에 적용 가능한 강력한 위상 불변량을 제공하기 위해.

제안 방법

• 대칭축이 중심에서 이격된 경우 단위 세포 내에서 수정된 대칭 연산자를 유도하며, 이 연산자가 k에 따라 변하는 것을 보여준다.
• 수정된 대칭 연산자가 비에르미트적이고 k에 의존함으로써 Zak 위상 표현에 나타나는 보정 항의 기원을 규명한다.
• 윌슨 루프 형식을 사용하여 Zak 위상을 표현하고, k공간 전역에서 대칭 연산자의 비단위성 진화로부터 위상 보정을 유도한다.
• k = 0 및 k = π에서 수정된 파리티 연산자를 도입하며, 그 고유값이 보정된 Zak 위상을 결정한다.
• 모델 시스템(SHH, t₁t₁t₂t₂, t₁t₁t₁t₂)에 보정된 Zak 위상을 적용하고, 표 bord 상태 물리학과 와너 중심 계산 결과와의 일致를 검증한다.
• 다른 대칭축 선택 간의 위상 이동이 정확히 π임을 보여주며, 이는 위상 전이와 일致한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭축이 중심에 있지 않은 1차원 격자 모델에서 표준 Zak 위상이 언제 양자화되지 않는가?
• RQ2 단위 세포 수준의 대칭 연산자의 k의존성이 Zak 위상과 그 양자화에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 대칭축이 단위 세포의 중심에 있지 않은 경우, Zak 위상의 π-양자화를 복원하기 위해 어떤 보정 항을 추가해야 하는가?
• RQ4 대칭점에서 수정된 파리티 연산자는 이러한 시스템에서 정확한 위상 불변량을 예측하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ5 일반화된 Zak 위상은 축이 중심에 있지 않은 준1차원 시스템과 리본 시스템에 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 대칭축이 단위 세포의 중심에 있지 않은 경우, 대칭 연산자의 k에 의존하는 행렬 원소로 인해 표준 Zak 위상은 양자화되지 않는다.
• Zak 위상에 k공간에서 |u_j,A(k)|²의 적분에 비례하는 보정 항을 추가함으로써 π-양자화를 복원할 수 있다.
• 보정된 Zak 위상 ˜γ_j 는 대칭축의 위치에 관계없이 항상 양자화되어 있으며, 위상 불변량으로서 기능한다.
• 모델 t₁t₁t₂t₂처럼 어떤 단위 세포에도 중심 대칭축이 존재하지 않는 경우, 일반화된 Zak 위상은 위상 특성 분석에 필수적이다.
• 동일한 단위 세포 내에서 두 개의 다른 대칭축 선택 간의 위상 차이는 정확히 π이며, 이는 위상 전이와 일치한다.
• 수치적 검증을 통해 보정된 Zak 위상의 위상 이동이 정확히 π일 때 에지 상태가 나타나며, 수정된 파리티 고유값 예측과 일致함을 확인하였다.