[논문 리뷰] Generalizations of a result of Jarnik on simultaneous approximation

Johannes Schleischitz|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 24.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 실수 벡터 $(\zeta, \zeta^2, \ldots, \zeta^k)$에 대한 Jarník의 고전적 동시 디오판틴 스베이션 결과를 일반화한다. 이는 무한히 많은 $q$에 대해 근사 오차 $\|q\zeta^j - p_j\|$ 가 함수 $\Psi(q) = o(q^{-1})$ 에 의해 유계되지만, $c < 1$ 인 임의의 더 작은 함수 $c\Psi(q)$ 에 의해는 유계되지 않는 실수 $\zeta$ 가 존재함을 보여준다. 이 구성은 연분수와 블록 방법을 사용하며, 칸토어 집합과 같은 프랙탈 집합에도 적용 가능하여, 최적의 근사 한계를 갖는 비가чёт 수의 $\zeta$ 가 존재함을 보여준다.

ABSTRACT

Consider a non-increasing function $Ψ$ from the positive reals to the positive reals with decay $o(1/x)$ as $x$ tends to infinity. Jarnik proved in 1930 that there exist real numbers $ζ_{1},...,ζ_{k}$ together with $1$ linearly independent over $\mathbb{Q}$ with the property that all $qζ_{j}$ have distance to the nearest integer smaller than $Ψ(q)$ for infinitely many positive integers $q$, but not much smaller in a very strict sense. We give an effective generalization of this result to the case of successive powers of real $ζ$. The method also allows to generalize corresponding results for $ζ$ contained in special fractal sets such as the Cantor set.

연구 동기 및 목표

• 실수 $\zeta$ 에 대해 연속된 거듭제곱 $\zeta, \zeta^2, \ldots, \zeta^k$ 의 경우에 Jarník의 1930년 결과를 동시 근사에 대해 확장한다.
• 모든 $c < 1$ 에 대해 $\|q\zeta^j - p_j\| \leq \Psi(q)$ 가 무한히 많은 $q$ 에 대해 성립하지만 $c\Psi(q)$ 에 대해서는 성립하지 않는 $\zeta$ 가 존재함을 보여주며, 이는 $\Psi(q) = o(q^{-1})$ 조건 하에 성립한다.
• 특수한 프랙탈 집합(예: 칸토어 집합)에 속하는 $\zeta$ 에 대해서도 이러한 결과를 일반화하며, 밑-$b$ 전개에서의 자릿수 제약 조건을 사용한다.
• 연분수 또는 이진 전개로 명시적으로 구성된 이러한 $\zeta$ 를 제공함으로써 근사 경계가 최적임을 보장한다.

제안 방법

• 연분수 또는 밑-$b$ 자릿수 전개를 통해 $\zeta$ 를 정의하는 블록 구성 방법을 사용하여 근사 행동을 제어한다.
• 선형 형식에 대한 추정과 Folding Lemma 를 적용하여, $1 \leq j \leq k$ 에 대해 동시 근사 오차 $\|q\zeta^j - p_j\|$ 를 제어한다.
• $\Psi(q)$ 에 대해 조건 (A1)–(A3) 및 (B1)–(B2) 를 부과하여 효과적인 경계를 확보하기 위해 감쇠성과 단조성 보장.
• 재귀적 블록 선택을 통해 $\Psi(q)$ 에 의해 유계되지만 $c < 1$ 인 $c\Psi(q)$ 에 의해는 유계되지 않는 $\zeta$ 를 구성한다.
• 자릿수 제약 조건을 통해 밑-$b$ 전개에서의 디지트 제한을 적용하여 프랙탈 집합(예: 칸토어 집합)에 속하는 $\zeta$ 에 대해 방법을 일반화한다.
• 레마 3.10 과 선형 형식에 대한 추정을 사용하여 더 나은 근사가 불가능함을 보여주며, 경계의 날카로움을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Jarník의 동시 근사 결과는 실수 $\zeta$ 에 대해 $(\zeta, \zeta^2, \ldots, \zeta^k)$ 형태의 벡터로 확장될 수 있는가?
• RQ2 주어진 $\Psi(q) = o(q^{-1})$ 에 대해, 무한히 많은 $q$ 에 대해 $\|q\zeta^j - p_j\| \leq \Psi(q)$ 를 만족하지만 $c < 1$ 인 $c\Psi(q)$ 는 만족하지 않는 $\zeta$ 가 존재하는가?
• RQ3 연분수 또는 밑-$b$ 자릿수 전개로 이러한 $\zeta$ 를 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 이러한 결과는 밑-$b$ 전개에서 자릿수 제약 조건을 갖는 칸토어 집합과 같은 프랙탈 집합에 속하는 $\zeta$ 에 대해서도 확장 가능한가?
• RQ5 이러한 $\zeta$ 가 존재하는 최적의 $\Psi(q)$ 경계는 무엇이며, 이 경계는 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 비감소 함수 $\Psi(q) = o(q^{-1})$ 이며 (A1)과 (B1) 조건을 만족하는 경우, 무한히 많은 비가산 수의 $\zeta \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ 가 존재하여, 무한히 많은 $q$ 에 대해 $\|q\zeta^j - p_j\| \leq \Psi(q)$ 를 만족하지만 $c < 1$ 인 $c\Psi(q)$ 는 만족하지 않으며, 이는 경계의 날카로움을 증명한다.
• 구성 방법은 연분수 또는 이진 전개를 통해 근사 오차가 $\Psi(q)$ 에 의해 유계되지만, 더 작은 $c\Psi(q)$ 에 의해는 유계되지 않는 $\zeta$ 를 제공하며, 이는 최적성을 보여준다.
• $\Psi(q) < q^{-\theta}$ 이며 $\theta > \gamma$ 인 경우, 이 방법은 더 이상의 근사가 불가능한 $\zeta$ 를 구성하며, 이는 이전 결과를 향상시킨다.
• 자릿수 제약 조건을 통해 밑-$b$ 전개에서의 디지트 제한을 적용함으로써, 칸토어 집합에 속하는 $\zeta$ 에 대해서도 방법이 일반화된다.
• 근사 오차에서 $1/(b-1)$ 의 경계는 현재의 방법으로 거의 최적임을 보이며, 임의로 가까이 다가갈 수 있다.
• 블록 구성과 Folding Lemma 를 사용한 증명 기법은 이러한 $\zeta$ 의 효과적 구성이 가능하며, 이는 $b=2$ 에서 이진 전개로도 확장 가능하다.