[논문 리뷰] Generalizations of Ekeland-Hofer and Hofer-Zehnder symplectic capacities and applications

Rongrong Jin, Guangcun Lu|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 04.

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한 줄 요약

이 논문은 심플렉틱 동형사상과 함께 해밀턴 경계값 문제를 기반으로 일반화된 심플렉틱 용적을 도입하여 에클란드-호퍼 및 호퍼-제른더 용적을 확장한다. 비정기적 궤도와 관련된 새로운 불변량을 설정하고, 볼록 초표면에서 $Ψ$-특성의 존재를 증명하며, 일반화된 웨인스타인 추측과 표현 공식을 검증한다. 이는 해밀턴 역학과 그로모프-윈터 인버리언트를 통한 스펙트럼 추정에 적용된다.

ABSTRACT

In this paper we construct analogues of Ekeland-Hofer and Hofer-Zehnder symplectic capacities based on a class of Hamiltonian boundary value problems motivated by Clarke's and Ekeland's work, and study generalizations of some important results about the original two capacities (for example, the famous Weinstein conjecture, representation formula for $c_{ m EH}$ and $c_{ m HZ}$, and a theorem by Evgeni Neduv).

연구 동기 및 목표

• 해밀턴 경계값 문제와 심플렉틱 동형사상의 조건을 사용하여 고전적인 에클란드-호퍼 및 호퍼-제른더 심플렉틱 용적을 비정기적 설정으로 일반화한다.
• 심플렉틱 동형사상에 대해 접촉형 초표면에 대한 일반화된 웨인스타인 추측을 수립한다.
• 해밀턴 경계값 문제에서 변분 방법을 통해 새로운 심플렉틱 불변량을 구성한다.
• 이러한 일반화된 용적에 대한 표현 공식과 스펙트럼 추정을 증명하고, 그들을 그로모프-윈터 인버리언트와 연결한다.

제안 방법

• 모든 $t \in [0,T]$ 에 대해 $z(T) = \Psi z(0)$ 이고 $\dot{z}(t) \in \mathcal{L}_{\mathcal{S}}|_{z(t)}$ 를 만족하는 $C^1$ 곡선 $z:[0,T] \to \mathcal{S}$ 를 $Ψ$-특성으로 정의한다.
• 비정기적 경계 조건에 적합한 변분 프레임워크를 사용하여 일반화된 용적 $c^\Psi_{\rm EH}$ 와 $c^\Psi_{\rm HZ}$ 를 구성한다.
• 에클란드-호퍼 및 호퍼-제른더의 고전적 허용 함수 클래스와 비공진 조건을 비정기적 경우로 일반화한다.
• 경계 역학을 모델링하기 위해 볼록 집합 $D$ 에 대해 하위도함수 미적분학과 민코프스키 함수 $j_D$ 를 사용한다.
• 제약 조건이 있는 해밀턴 시스템에서 임계점 이론을 통해 용적의 유한성을 증명한다.
• 에너지 수준 근처에서 행동 함수의 $C^0$-연속성과 유계 변동성을 사용하여 스펙트럼 추정을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에클란드-호퍼 및 호퍼-제른더 용적이 심플렉틱 동형사상 조건이 있는 비정기적 해밀턴 시스템으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 모든 $\Psi \in \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$ 에 대해 $\mathbb{R}^{2n}$ 의 볼록 초표면에서 $\Psi$-특성이 존재하는가?
• RQ3 원래의 $c_{\rm EH}$ 와 $c_{\rm HZ}$ 와 유사한 표현 공식이 일반화된 용적에 대해 존재하는가?
• RQ4 이러한 일반화된 용적이 심플렉틱 위상수학에서 그로모프-윈터 인버리언트와 스펙트럼 불변량과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 접촉형 초표면에서 $\Psi$-특성에 대해 일반화된 웨인스타인 추측을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 용적 $c^\Psi_{\rm HZ}(D_0, \omega_0)$ 는 유한하며, $Ψ$-특성의 최소 주기를 포함하는 표현 공식을 갖는다.
• 모든 $\Psi \in \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$ 에 대해 내부가 비어 있지 않은 컴팩트 볼록 집합 $D$ 의 경계 $\mathcal{S}$ 에서 비상수 $Ψ$-특성이 존재한다.
• 일반화된 웨인스타인 추측이 성립한다: $\mathbb{R}^{2n}$ 의 모든 접촉형 초표면은 임의의 $\Psi \in \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$ 에 대해 $Ψ$-특성을 지닌다.
• $c^\Psi_{\rm HZ}$ 는 $C^0$-연속성 추정을 만족한다: 작은 $\epsilon$ 에 대해 $\mathfrak{C}(\epsilon) \leq c^\Psi_{\rm HZ}(D_0,\omega_0) + T_{x^*}\epsilon + K\epsilon^2$ 이며, $T_{x^*}$ 는 최소 주기이다.
• $\mathfrak{C}(\epsilon)$ 의 $\epsilon = 0$ 에서의 왼쪽 및 오른쪽 도함수는 각각 $T^{\max}(e_0)$ 와 $T^{\min}(e_0)$ 와 일치하며, 이는 스펙트럼 안정성을 증명한다.
• 직교 심플렉틱 행렬 $\Psi = \begin{pmatrix} U & -V \\ V & U \end{pmatrix}$ 에 대해, $g^\Psi(s) = \det(\Psi - e^{sJ})$ 의 $(0,2\pi]$ 내에서의 가장 작은 영이 $\theta_1$ 이며, 이는 $U + iV$ 의 가장 작은 고유각도이다. 이때 $\mathfrak{t}(\Psi) = \theta_1$ 이다.